Нелинейные операции над матрицами. Св-ва операций.

Умножение матриц (AB) есть оп-ция вычисления матрицы C, эл-ты кот. равны сумме произведений эл-ов в соответствующей строке 1ого множителя и столбце 2ого.

Правило: чтобы получить эл-т, стоящий в i -й строке и j -ом столбце прозвед-ия 2х матриц, нужно эл-ты i -й строки 1ой мат-цы умножить на соответствующие эл-ты j -го столбца 2ой мат-ры и получ. произвед-ия сложить.

В 1ом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во 2ом. Если матрица A имеет размерность m×n, B — n×k, то размерность их произведения AB=C есть m×k.

Св - ва мат - ц: 1) A*(B*C)=(A*B)*C; 2)A*(B+C)=AB+AC; 3)(A+B)*C=CA+CB; 4)α*(A*B)=(αA)*B

Возводить в степень можно только квадрат.матрицы.

Транспонирование матрицы (А^Т) – оп-ция, при кот. матрица отражается относительно главной диагонали.

Матрицу В называют т р анспонированнойматрицей А, а переход от А к В транспонированием мат-цы, если эл-ты каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В. Обозначается А^Т.

Другими словами, a_ij = b_ji.

Св-ва: 1) ; 2)

Определители. Основные понятия. Свойства определителей.

Квадр. матрице А порядка N можно сопоставить число det A (или |A|), называемое ее определителем следующим образом:

Определитель мат-цы А также наз. ее детерминантом. Методы, позволяющие реализовать вычисление определ-ей высоких порядков на основе определителей низших порядков.

Один из методов основан на св-ве разложения определителя по элементам некоторого ряда. При этом заметим, что определ-ли невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.

Вычисление определ-ля 2-го порядка иллюстрируется схемой:

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса):

Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак

3. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

4. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Из св-в 3 и 4 следует, что если все эл-ты некотор. ряда пропорциональны соответствующим эл-там параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

5.Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Св-ва определит.(сумма опред., тождественные преобраз., сумма произвед. эл-ов строк и столбцов)

Вычисление определ-ля 2-го порядка иллюстрируется схемой:

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса):

Свойства определителей

1. Если эл-ты какого-либо ряда опред-ля представляют собой суммы 2х слагаемых, то опред-тель может быть разложен на сумму 2х соответствующих опред-лей.

2. Определитель не изменится, если к эл-там 1ого ряда прибавить соответствующие эл-ты параллельного ряда, умноженные на любое число.

3. Определитель произвед-ия 2х квадр. матр-иц: C=A*B равен произвед-ию detС= detВ* detА.

4. Сумма произвед-ий эл-ов строки или столбца,по кот. раскрывается опрделит. умноженный на алгебраич. дополнение параллельного столбца или строки равен нулю.