Билет 10. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Рангом матрицы А наз-ся наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А).

Доказательство. Пусть - столбцы, не входящие в БМ и они - максимальная линейно независимая система. Ранг системы столбцов = m (число столбцов входящих в максимальную линейно независимую систему) по утверждению 1 (если система линейно независима (количество k) и выражается через другую (количество l) то ) . по утверждению 1 и утверждению 2 (все максимальные линейно независимые системы состоят из одного и

того же числа столбцов) и в силу того, что все столбцы линейно выражаются через столбцы максимальной линейно независимой системы

Билет 11. Понятие линейной зависимость и линейной независимости строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Столбец называется линейной комбинацией столбцов одинаковых размеров, если

(3.1)

где — некоторые числа. В этом случае говорят, что столбец разложен по столбцам , а числа называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами называется тривиальной.

Если столбцы в (3.1) имеют вид

то матричному равенству (3.1) соответствуют поэлементные равенства,
Аналогично формулируется определение линейной комбинации строк одинаковых размеров.

Набор столбцов одинаковых размеров называется системой столбцов.

Система из столбцов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

(3.2)

Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.

Система из столбцов называется линейно независимой, если равенство (3.2) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.2) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).

Замечания 3.1

1. Один столбец тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при линейно независимую.

2. Любая часть системы столбцов называется подсистемой.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А).

Доказательство. Пусть - столбцы, не входящие в БМ и они - максимальная линейно независимая система. ранг системы столбцов = m (число столбцов входящих в максимальную линейно независимую систему) по утверждению 1 (если система линейно независима (количество k) и выражается через другую (количество l) то ) . по утверждению 1 и утверждению 2 (все максимальные линейно независимые системы состоят из одного и тогоже числа столбцов) и в силу того, что все столбцы линейно выражаются через столбцы максимальной линейно независимой системы

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Основные понятия. Матричная форма записи СЛАУ.

Основные понятия:

Ситемой линейных алгебраических уравнений, содержащих m уравнений и n неизвестных, называется система вида

Решением системы 1 называется n- значением: x₁=c₁, x₂=c₂, x_n=c_n, где с_ij= const, при подстановке которых в один, все уравнения обращаются в верные равенства.

  c₁

b= c₂

   c_n

Cистема называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение; и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Каждое решение будем называть частным решением. Совокупность частных решений образует общее решение.

Решить систему означает выяснить, совместна она или нет. Если совместна, то найти общее решение.

(a_ij), i = 1, m, называются коэффициентами

   j = 1, n                     системы

b_i- свободные члены,x_i-неизвестное

A x = B – матричная форма записи СЛАУ.

А=

           

Х=

 

Ах=b

b=

 

Расширенной матрицей системы (А) называется матрица, получающаяся из исходной матрицы системы, присоединением вектора столбца свободных членов.

А= (А b)

Две системы назыв. эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и тоже общее решение,т.е.  любое решение одной из них явл. Решением другой и наоборот.

Замечание: Эквивалентные системы получаются в частности при элементарных преобразованиях системы и при условии, что преобразования совершаются лишь над строками матрицы.

СЛАУ назыв. однородной, если все ее свободные члены равны нулю

Замечание: однородная сист. Всегда совместна, поскольку существуют тривиальные решения: х₁=о, х₂=0, х_m=0.