Площадь ориентированного параллелограмма. Вычисление площадей.

Определение 25.1. Пусть и два вектора, параллельные некоторой ориентированной плоскости (ориентация
определяется некоторым базисом ).
Площадью ориентированного параллелограмма , построенного на векторах и называется число , определяемое следующим образом:

1. , если базис положительно ориентирован;

2. , если базис отрицательно ориентирован;

3. , если векторы и коллинеарны.

Очевидно, что . Пусть будет единичный вектор, перпендикулярный нашей плоскости и направленный в ту сторону, с которой мы смотрим на нее; тогда . Если тройка векторов правая, то и параллелограмм ориентирован положительно, т.е . Если тройка векторов левая, то и параллелограмм ориентирован отрицательно, т.е . В том и другом случае

Из этого легко усмотреть следующие свойства ориентированной площади

1. .

2. .

3. .

4. .

Зададим теперь векторы и их координатами относительно базиса :

Тогда

В силу свойств ориентированной площади получаем

Учитывая, что и , получим

Обозначим через , т.е. площадь параллелограмма, построенного на базисных векторах. Тогда получаем, что

Пусть теперь на плоскости задана аффинная система координат .

ТЕОРЕМА 25.1. Площадь треугольника , заданного своими вершинами относительно аффинной системы координат на плоскости вычисляется по формуле

( --- знак модуля или абсолютной величины)

Доказательство. Из предыдущих рассуждений следует, что . Поскольку (см. формулу ), то с учетом получаем

ТЕОРЕМА 25.2. Для того чтобы три точки относительно аффинной системы координат , принадлежали одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

или

Замечание 25.1. Если заданы метрические коэффициенты базиса , входящего в систему координат , то площадь , как легко видеть, вычисляется по формуле , где . Поэтому формулу можно записать в виде

 

B AAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI9BS8NAEIXvQv/DMgUvYjetrdSYTZGCWEQoTWvP2+yYBLOz aXabxH/v6EUvA4/3eO+bZDXYWnTY+sqRgukkAoGUO1NRoeCwf75dgvBBk9G1I1TwhR5W6egq0bFx Pe2wy0IhuIR8rBWUITSxlD4v0Wo/cQ0Sex+utTqwbAtpWt1zua3lLIrupdUV8UKpG1yXmH9mF6ug z7fdcf/2Irc3x42j8+a8zt5flboeD0+PIAIO4S8MP/iMDikzndyFjBe1An4k/F727h6iBYiTgvl0 NgeZJvI/ffoNAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAA AAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAxITWOR8DAAA0BgAADgAAAAAA AAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAvJ/bvt4AAAAFAQAADwAA AAAAAAAAAAAAAAB5BQAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAIQGAAAAAA== " filled="f" stroked="f">