Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Ориентация плоскости и пространства.
Для простоты вычислений рассмотрим подробно как определяется ориентация плоскости. Пусть --- множество всех векторов, параллельных плоскости, т.е. двумерное подпространство пространства . Как известно, любые два неколлинеарных вектора из , взятые в определенном порядке, образуют базис . Поэтому в существует бесконечное множество базисов. Рассмотрим два из них: и . Разложим векторы базиса по векторам базиса : Из координат векторов и можно составить матрицу второго порядка: Координаты вектора образуют первый столбец этой матрицы, а координаты вектора --- второй столбец. Эту матрицу назовем матрицей перехода от базиса к базису . Определение 21.1. Число называется определителем матрицы перехода от базиса к базису и обозначается так: Так как векторы и линейно независимы, то из следствия о координатах коллинеарных векторов получаем, что . Рассмотрим некоторые свойства определителей матрицы перехода от одного базиса к другому. 1. Для любого базиса имеем . В самом деле, поэтому 2. Для любых трех базисов справедливо равенство Пусть . Подставив в правые части этих формул вместо и их разложения по формулам , будем иметь: Отсюда получаем определитель матрицы перехода от базиса к базису : поскольку определитель матрицы перехода от базиса к базису имеет вид: 3. Для любых базисов справедливо равенство Действительно, если в равенстве положить и воспользоваться свойством 1., то получим требуемое. Обозначим через множество всех базисов подпространства . Будем говорить, что базисы находятся в отношении (одинаково ориентированы), если , записываем так . Докажем, что отношение является отношением эквивалентности на множестве всех базисов 1. рефлексивность. Для произвольного базиса по свойству 1 имеем: 2. симметричность. Пусть . Но из свойства 3 следует, что 3. транзитивность. Непосредственно следует из свойства 2. Докажем, что фактор-множество состоит лишь из двух элементов. Для этого рассмотрим базисы и $\bar A=\{\vec a_2;\vec a_1\}$. Так как то классы эквивалентности и различны. Легко убедиться, что любой базис принадлежит либо классу , либо классу . В самом деле, по свойству 2
Каждый из элементов фактор-множества называется ориентацией векторного подпространства . Выделим одну из этих ориентаций, назовем ее положительной (а другую - отрицательной). Векторное подпространство, в котором выбрана положительная ориентация, называется ориентированным. Базисы положительной ориентации называют правыми базисами, а базисы отрицательной ориентации - левыми. Аналогичным образом определяется ориентация векторного пространства . А именно,как известно, любые три некомпланарных вектора из , взятые в определенном порядке, образуют базис . Поэтому Из координат векторов и можно составить матрицу третьего порядка: Координаты вектора образуют первый столбец этой матрицы, координаты вектора --- второй столбец, а координаты вектора --- третий столбец. Эту матрицу назовем матрицей перехода от базиса к базису . называется определителем матрицы перехода от базиса к базису и обозначается так: Так как векторы и линейно независимы, то можно показать, что . Точно так же проверяются свойства определителей матриц перехода и доказывается, что существуют всего две различные ориентации векторного пространства . В дальнейшем будем считать, что векторное пространство ориентировано и положительную ориентацию определяет правая тройка векторов. Определение 21.3. Тройка некомпланарных векторов, взятых в данном порядке, называется правой (левой), если кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден из конца третьего совершающимся против (по) часовой стрелке, при условии, что векторы приведены к общему началу.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-10-24; просмотров: 120; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.15.6.77 (0.008 с.) |