Базис векторного пространства. Координаты вектора.

Определение 10.1. Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная система векторов , которая удовлетворяет следующим требованиям:

1. Система данных векторов линейно независима.

2. Любой вектор пространства является линейной комбинацией данной системы векторов, т.е.

Нетрудно видеть, что представление вектора в виде линейной комбинации векторов базиса однозначно.
В самом деле, если предположить, что существует еще разложение
, то получим равенство

Поскольку система векторов линейно независима, то все числа .

Определение 10.2. Коэффициенты разложения называются координатами вектора в базисе .

В этом случае мы будем писать .

Рассмотрим теперь векторное пространство . Докажем несколько теорем о базисе пространства .

ТЕОРЕМА 10.1. Любая упорядоченная система трех некомпланарных векторов пространства является его базисом.

Доказательство. По следствию 9.2. такая система векторов линейно независима, а по теореме 7.2. любой вектор пространства является линейной комбинацией трех некомпланарных векторов.

ТЕОРЕМА 10.2. Любой базис пространства состоит из трех векторов.

Доказательство. Пусть --- базис пространства . Он не может содержать более трех векторов по теореме 9.3., так как векторы будут линейно зависимы. Однако он не может содержать менее трех векторов.
Если содержит два вектора , а вектор такой, что --- некомпланарны, то по следствию 9.2. не может быть разложен по векторам и . Тем более один вектор не может служить базисом пространства .

Определение 10.3. Число векторов в любом базисе называется размерностью векторного пространства.

Таким образом, размерность векторного пространства равна трем. Обозначение: .

Различают два вида базисов.

1. Аффинный --- базисные векторы имеют произвольную длину и углы между ними любые. Произвольный аффинный базис мы будем обозначать .

2. Ортонормированный или декартов базис, частный случай аффинного базиса. Этот базис будем обозначать , базисные векторы этого базиса единичные и взаимно перпендикулярные

Замечание 10.1. Поскольку ортонормированный базис есть частный случай аффинного, то всё, что доказано для аффинных базисов справедливо и для ортонормированных, но не наоборот.

Свойства координат вектора.

ТЕОРЕМА 10.3. Пусть --- базис пространства и пусть в этом базисе векторы . Тогда для любых действительных чисел вектор

в базисе .

Доказательство. По определению координат вектора имеем:

Поэтому вектор

Используя свойства операций умножения вектора на число и сложения векторов, раскроем скобки и получим

Последнее равенство по определению означает, что

в базисе .

Из теоремы 10.3. получаем следующие следствия.

Следствие 10.1. Любая координата суммы (разности) векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Следствие 10.2. При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Следствие 10.3. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.

Векторные подпространства

Определение 11.1. Пусть --- непустое множество векторов из векторного пространства . Множество называется векторным подпространством пространства , если выполнены следующие два условия:
1. Если и , то .

2. Если , то для любого вещественного числа .

По аналогии с пространством введем понятие базиса подпространства . Базисом векторного подпространства называется такая упорядоченная система линейно независимых векторов из , что любой вектор подпространства является линейной комбинацией данной системы векторов. Можно доказать, что все базисы подпространства состоят из одного и того же числа векторов. Это число называется размерностью векторного подпространства.

Пусть теперь имеем дело с пространством . Так как , а в любая система, состоящая более чем из трех векторов линейно зависима, то размерность любого подпространства пространства не больше, чем три.
Рассмотрим примеры векторных подпространств пространства и выясним их геометрический смысл.

1. Возьмем два неколлинеарных вектора и пространства и рассмотрим множество всех векторов вида:

,

где --- произвольные действительные числа.

Это множество, как нетрудно проверить, удовлетворяет обоим условиям определения векторного подпространства, поэтому является подпространством пространства . Оно называется подпространством натянутым на векторы и , и обозначается . Пусть --- плоскость, которой параллельны векторы и . Докажем, что --- множество тех и только тех векторов пространства , которые параллельны плоскости . Действительно, при любых значениях и векторы и линейно зависимы, поэтому они компланарны, то есть вектор
параллелен плоскости . Обратно, любой вектор , параллельный плоскости , компланарен с векторами и , поэтому является линейной комбинацией векторов и , то есть принадлежит множеству .

Векторы и образуют базис подпространства . В самом деле, эти векторы линейно независимы по следствию 9.1., и любой вектор подпространства является линейной комбинацией векторов и по построению этого множества. Таким образом, множество всех векторов,
параллельных некоторой плоскости, является двумерным векторным подпространством пространства .
Еще раз отметим, что базисом такого подпространства является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

2. Возьмем ненулевой вектор пространства и рассмотрим множество всех векторов вида:

,

где --- произвольное действительное число. Это множество является векторным подпространством пространства . Обозначим его через . Пусть --- прямая, которой параллелен вектор . Аналогично примеру 1 можно доказать, что --- множество всех тех и только тех векторов пространства , которые параллельны прямой .

Вектор является базисом подпространства , поэтому --- одномерное векторное подпространство. Таким образом, множество всех векторов, параллельных некоторой прямой, является одномерным векторным подпространством пространства .

3. Рассмотрим множество, состоящее только из одного нулевого вектора. Оно удовлетворяет обоим условиям определения векторного подпространства, поэтому является подпространством пространства . Оно называется нулевым или тривиальным векторным подпространством. Принято считать, что размерность этого подпространства равна нулю.