Приведем одну теорему, доказательство которой очевидно.

Направленные отрезки

Определение 1.1. Отрезок называется направленным (сокращенно НО), если учитывается порядок задания его концов.

Пусть и — концы НО. — первый — начало НО, — второй — конец НО. Будем обозначать через направленный отрезок с концами и . Если концы и совпадают, то НО называется нулевым или вырожденным и мы пишем или .

Определение 1.2. Длиной направленного отрезка будем называть длину соответствующего обычного отрезка. Длину направленного отрезка будем обозначать через . В частности, .

Определение 1.3. Два невырожденных направленных отрезка и называются коллинеарными,если прямые и или параллельны, или совпадают. Вырожденный направленный отрезок считается коллинеарным любому направленному отрезку.

Коллинеарные отрезки обозначаются .

Определение 1.4. Будем говорить, что два невырожденных направленных отрезка и , лежащих на параллельных прямых, имеют одинаковое (противоположное) направление, если точки и лежат по одну (по разные) стороны от прямой .

 

Определение 1.5. В случае, если невырожденные направленные отрезки и лежат на одной прямой , они имеют одинаковое направление, если на любой прямой , параллельной найдется невырожденный направленный отрезок , имеющий одинаковое направление с каждым из направленных отрезков и . Если же любой невырожденный отрезок (лежащий на прямой , параллельной прямой ) имеет одинаковое направление с одним из отрезков и и противоположное сдругим, то направленные отрезки и имеют противоположное направление.

Условимся считать, что вырожденный направленный отрезок имеет одинаковое направление с любым напраленным отрезком. Одинаково направленные (сонаправленные)отрезки обозначаются , а противоположно направленные .

Определение 1.6. Два направленных отрезка и называются эквиполентными, если

1) ;

2) ;

3) .

Эквиполентные направленные отрезки мы обозначаем .

ЛЕММА 1.1. (признак эквиполентности направленных отрезков)

Необходимым и достаточным условием эквиполентности направленных отрезков и является совпадение середины отрезка с серединой отрезка .

Доказательство необходимости. Дано .Пусть — середина отрезка . Рассмотрим центральную симметрию относительно точки . Совершенно очевидно, что каждый направленный отрезок при центральной симметрии переходит в направленный отрезок , такой, что . Пусть — точка, в которую при преобразовании перейдет точка . Так как точка переходит в точку , то направленный отрезок перейдет в направленный отрезок и, значит, точки и совпадают, т.е. точка является также и серединой отрезка .

Доказательство достаточности. Предположим, что середина отрезка совпадает с серединой отрезка . Обозначим их общую середину через . Значит при преобразовании симметрии относительно точки точка перейдет в точку , а точка перейдет в точку , поэтому .

Понятие вектора

Сложение векторов

Определение 3.1. Суммой двух векторов и называется вектор , где , , — произвольная точка, — точки, полученные после откладывания векторов и .

 

Покажем, что сумма векторов не зависит от выбора точки .

Действительно, пусть --- любая точка, отличная от точки . Строим векторы . Докажем, что .

Так как и , то по лемме2.1. и , то есть . Следовательно, по той же лемме
.

Замечание 3.1. Для нахождения суммы неколлинеарных векторов приходится строить треугольник . Поэтому правило сложения векторов называется правилом треугольника. Из этого правила следует, что для любых трех точек справедливо равенство

В частности, это правило справедливо и для коллинеарных точек.

Свойства сложения векторов.

ТЕОРЕМА 3.1. Для произвольных векторов справедливы следующие равенства:

1. --- коммутативность сложения векторов.

2. --- ассоциативность сложения векторов.

3. .

4. .

Доказательство.

1. Пусть и --- произвольные векторы. От какой-нибудь точки отложим векторы , а затем от точки отложим вектор . Согласно построению , поэтому по лемме 2.1. получаем , т.е. .

По правилу треугольника и , следовательно, . Отсюда получаем, что .

2. Пусть и --- произвольные векторы. Возьмем какую-нибудь точку и отложим последовательно векторы
.
По правилу треугольника , поэтому . С другой стороны , поэтому . Отсюда получаем требуемое.

3. Применим правило к точкам получим
.

Значит, .

4. Применим правило к точкам получим
.
Значит, .

Замечание 3.2.

1. Суммой векторов и будем считать вектор . На основании доказанной теоремы , поэтому при записи суммы трех векторов можно опустить скобки и писать просто . Более того, можно доказать, что сумма трех векторов не зависит от порядка слагаемых. В самом деле, докажем, например, что
:

.

2. Аналогично можно определить сумму векторов, где . Пусть --- произвольные векторы. Их суммой называется вектор , и обозначается так: .
Из второго свойства можно получить правило многоугольника для нахождения суммы любого конечного числа векторов. Оно таково:
Суммой конечного числа векторов называется вектор, идущий из начала первого в конец последнего, при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего.
Нетрудно убедиться в том, что сумма векторов не зависит от порядка слагаемых.

3. Для неколлинеарных векторов при их сложении можно пользоваться правилом параллелограмма:
Суммой двух неколлинеарных векторов является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, при условии, что начало искомого вектора совпадает с началом данных векторов.

Разность векторов.

Определение 4.1. Разностью векторов и , взятых в данном порядке, называется такой вектор , который в сумме со вторым вектором дает первый вектор.

Докажем существование и единственность разности.
Существование. Отложим векторы и от одной и той же точки :

Применяя равенство для точек получаем

Полагая , будем иметь . Этим доказано существование разности.
Единственность. Пусть существует еще вектор такой, что . Тогда . Прибавим к обеим частям этого равенства вектор . Получим

Таким образом, доказано существование и единственность разности любых двух векторов, при этом эта разность обозначается .
Замечание 4.1. Из доказательства существования разности векторов можно сформулировать правило нахождения разности двух векторов:

Разностью двух данных векторов, отложенных из одной точки является вектор, идущий из конца второго в конец первого.

 

Отметим еще равенство

В самом деле,

Умножение вектора на число.

Определение 5.1. Произведением вектора на действительное число называется вектор , который удовлетворяет двум условиям:

1. ;

2. , если и
, если .

Из условия 1. следует, что тогда и только тогда, когда или .

В дальнейшем вместо записи будем употреблять запись

Напомним определение гомотетии, известное из школьного курса геометрии.
Определение 5.2. Гомотетией с центром в точке и коэффициентом называется такое преобразование плоскости, при котором каждой точке ставится в соответствие точка такая, что выполнены следующие условия:

1. точки лежат на одной прямой;

2. ;

3. , если и
, если .

Предварительно докажем одну лемму.

ЛЕММА 5.1. Если при гомотетии с центром в точке и коэффициентом треугольник переходит
в треугольник , то .

Доказательство. По определению гомотетии имеем и , поэтому подобен с коэффициентом . Отсюда следует, что и . Если , то точки и лежат по одну сторону от прямой , поэтому , следовательно, . Если , то точки и лежат по разные стороны от прямой , поэтому , т.е. и в этом случае .

Свойства координат вектора.

ТЕОРЕМА 10.3. Пусть --- базис пространства и пусть в этом базисе векторы . Тогда для любых действительных чисел вектор

в базисе .

Доказательство. По определению координат вектора имеем:

Поэтому вектор

Используя свойства операций умножения вектора на число и сложения векторов, раскроем скобки и получим

Последнее равенство по определению означает, что

в базисе .

Из теоремы 10.3. получаем следующие следствия.

Следствие 10.1. Любая координата суммы (разности) векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Следствие 10.2. При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Следствие 10.3. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.

Векторные подпространства

Определение 11.1. Пусть --- непустое множество векторов из векторного пространства . Множество называется векторным подпространством пространства , если выполнены следующие два условия:
1. Если и , то .

2. Если , то для любого вещественного числа .

По аналогии с пространством введем понятие базиса подпространства . Базисом векторного подпространства называется такая упорядоченная система линейно независимых векторов из , что любой вектор подпространства является линейной комбинацией данной системы векторов. Можно доказать, что все базисы подпространства состоят из одного и того же числа векторов. Это число называется размерностью векторного подпространства.

Пусть теперь имеем дело с пространством . Так как , а в любая система, состоящая более чем из трех векторов линейно зависима, то размерность любого подпространства пространства не больше, чем три.
Рассмотрим примеры векторных подпространств пространства и выясним их геометрический смысл.

1. Возьмем два неколлинеарных вектора и пространства и рассмотрим множество всех векторов вида:

,

где --- произвольные действительные числа.

Это множество, как нетрудно проверить, удовлетворяет обоим условиям определения векторного подпространства, поэтому является подпространством пространства . Оно называется подпространством натянутым на векторы и , и обозначается . Пусть --- плоскость, которой параллельны векторы и . Докажем, что --- множество тех и только тех векторов пространства , которые параллельны плоскости . Действительно, при любых значениях и векторы и линейно зависимы, поэтому они компланарны, то есть вектор
параллелен плоскости . Обратно, любой вектор , параллельный плоскости , компланарен с векторами и , поэтому является линейной комбинацией векторов и , то есть принадлежит множеству .

Векторы и образуют базис подпространства . В самом деле, эти векторы линейно независимы по следствию 9.1., и любой вектор подпространства является линейной комбинацией векторов и по построению этого множества. Таким образом, множество всех векторов,
параллельных некоторой плоскости, является двумерным векторным подпространством пространства .
Еще раз отметим, что базисом такого подпространства является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

2. Возьмем ненулевой вектор пространства и рассмотрим множество всех векторов вида:

,

где --- произвольное действительное число. Это множество является векторным подпространством пространства . Обозначим его через . Пусть --- прямая, которой параллелен вектор . Аналогично примеру 1 можно доказать, что --- множество всех тех и только тех векторов пространства , которые параллельны прямой .

Вектор является базисом подпространства , поэтому --- одномерное векторное подпространство. Таким образом, множество всех векторов, параллельных некоторой прямой, является одномерным векторным подпространством пространства .

3. Рассмотрим множество, состоящее только из одного нулевого вектора. Оно удовлетворяет обоим условиям определения векторного подпространства, поэтому является подпространством пространства . Оно называется нулевым или тривиальным векторным подпространством. Принято считать, что размерность этого подпространства равна нулю.

Проекция вектора на ось

Пусть --- ось и --- некоторый вектор. Обозначим через и параллельные проекции точек и на прямую .
Определение 14.1. Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка на оси.

Замечание 14.1. Согласно определению 11.1. проекция вектора на ось --- это число, равное длине отрезка , взятое с определенным знаком.

Проекцию вектора на ось будем обозначать через . В случае ортогонального проектирования применяется обозначение . Отметим, что
ортогональное проектирование есть частный случай параллельного, поэтому для него выполняются все свойства параллельного проектирования, но не наоборот.

Кроме того отметим, что проекцию вектора мы определили через проекцию его представителя, поэтому необходимо доказать, что это определение не зависит от выбора представителя. Это доказательство отнесем к свойствам
проекций векторов на ось.

Свойства проекций векторов на ось.
1. Проекции равных векторов равны.(более точно, проекции эквиполентных направленных отрезков равны)

Доказательство. Пусть . Обозначим через:
проекции точек . Так как , то середины отрезков и совпадают и, кроме того, при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в
середину его проекции, следовательно середина отрезка совпадает с серединой отрезка , значит, .

2. Проекция суммы векторов на ось есть сумма проекций слагаемых векторов, т.е.

Доказательство. Пусть тогда
. Обозначим через: проекции точек . Используя основное тождество (см. теорему 12.1.) для точек оси, получим

.

Для завершения доказательства достаточно заметить, что
.

3. Для ортогональной проекции

где --- угол между вектором и осью.

Доказательство. Пусть . Так как проекции равных векторов равны между собой, то можно считать, что вектор отложен от точки оси . Обозначим через проекцию точки на ось. Если вектор ненулевой и угол --- острый, то (см. рис. 1)

 

 

Если же вектор ненулевой и угол --- тупой, то (см. рис. 2)

В случае когда вектор или он перпендикулярен оси, формула очевидна.

Геометрические свойства.

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е.

В частности, тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Следует из определения скалярного произведения векторов и того факта, что .

5. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны или хотя бы один из них нулевой.

Доказательство. Действительно

или или или или .

6. Скалярное произведение двух ненулевых векторов положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда угол между ними острый (тупой).

Доказательство. Действительно знак скалярного произведения ненулевых векторов, согласно определению, совпадает со знаком косинуса угла между ними.

Направленные отрезки

Определение 1.1. Отрезок называется направленным (сокращенно НО), если учитывается порядок задания его концов.

Пусть и — концы НО. — первый — начало НО, — второй — конец НО. Будем обозначать через направленный отрезок с концами и . Если концы и совпадают, то НО называется нулевым или вырожденным и мы пишем или .

Определение 1.2. Длиной направленного отрезка будем называть длину соответствующего обычного отрезка. Длину направленного отрезка будем обозначать через . В частности, .

Определение 1.3. Два невырожденных направленных отрезка и называются коллинеарными,если прямые и или параллельны, или совпадают. Вырожденный направленный отрезок считается коллинеарным любому направленному отрезку.

Коллинеарные отрезки обозначаются .

Определение 1.4. Будем говорить, что два невырожденных направленных отрезка и , лежащих на параллельных прямых, имеют одинаковое (противоположное) направление, если точки и лежат по одну (по разные) стороны от прямой .

 

Определение 1.5. В случае, если невырожденные направленные отрезки и лежат на одной прямой , они имеют одинаковое направление, если на любой прямой , параллельной найдется невырожденный направленный отрезок , имеющий одинаковое направление с каждым из направленных отрезков и . Если же любой невырожденный отрезок (лежащий