Скалярное произведение векторов

Определение 15.1. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение будем обозначать или просто . По определению имеем

где --- угол между векторами и .

Перечислим основные свойства скалярного произведения, разделив их на свойства алгебраические и геометрические.

Алгебраические свойства.

1. Для любых векторов и

т.е. скалярное произведение векторов обладает свойством коммутативности.

Это свойство непосредственно следует из определения скалярного произведения.

2. Для любого числа и любых векторов и

т.е. скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

Доказательство. Обозначим через угол между вектором и . Если число и векторы ненулевые, то и мы получаем (см.рис. 1)

 

Если число и векторы ненулевые, то и мы получаем (см.рис. 2)

 

Наконец, если число или один из векторов нулевой, то доказываемое равенство очевидно.

3. Для любых векторов и

Доказательство. Обозначим через угол между вектором и , через угол между вектором и , через угол между вектором и .
По определению получаем

Учитывая формулу и свойство 2. проекций векторов, имеем

Геометрические свойства.

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е.

В частности, тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Следует из определения скалярного произведения векторов и того факта, что .

5. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны или хотя бы один из них нулевой.

Доказательство. Действительно

или или или или .

6. Скалярное произведение двух ненулевых векторов положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда угол между ними острый (тупой).

Доказательство. Действительно знак скалярного произведения ненулевых векторов, согласно определению, совпадает со знаком косинуса угла между ними.

Координатная форма скалярного произведения

ТЕОРЕМА 16.1. Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис , в котором . Тогда

Доказательство. По определению координат вектора в базисе имеем
и , поэтому

Используя доказанные свойства скалярного произведения, получаем


Поскольку базис ортонормированный, то и , значит, окончательно получим


Теорема доказана.
Замечание 16.1. Если рассматривается множество векторов, параллельных некоторой плоскости (т.е. двумерное векторное подпространство пространства ), то формула принимает вид

где в ортонормированном базисе двумерного подпространства .