Основные виды параллельного проектирования

В геометрии рассматриваются следующие три вида параллельного проектирования.

1. Проекция точек плоскости на прямую параллельно прямой .

Пусть на плоскости заданы две пересекающиеся в точке прямые и . Если точка плоскости не лежит на прямой , то проекцией точки на прямую параллельно прямой называется точка пересечения прямой с прямой, проходящей через точку параллельно прямой . Если же точка лежит на прямой , то ее проекцией на прямую параллельно прямой называют точку . Если прямые и взаимно перпендикулярны, то рассмотренный вид проектирования оказывается ортогональным проектированием на прямую .

Итак: Ортогональной проекцией точки плоскости на прямую , лежащую в этой плоскости, называется точка пересечения прямой с прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

2. Проекция точек пространства на плоскость параллельно прямой .

Пусть в пространстве задана плоскость и пересекающая ее в точке прямая . Если точка пространства не лежит на прямой , то проекцией ее на плоскость , параллельно прямой называется точка пересечения плоскости с прямой, проходящей через точку параллельно прямой . Если же точка лежит на прямой , то ее проекцией на плоскость параллельно прямой называют точку . Если прямая перпендикулярна плоскости , то рассматриваемый вид проектирования оказывается ортогональным.

Итак: ортогональной проекцией точки на плоскость называется точка пересечения плоскости с прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .

 

3. Проекция точек пространства на прямую параллельно плоскости .

Пусть в пространстве задана плоскость и пересекающая ее в точке прямая . Если точка пространства не лежит на плоскости , то ее проекцией на прямую параллельно плоскости называется точка пересечения прямой с плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости . Если же точка лежит на плоскости , то ее проекцией на прямую параллельно плоскости называют точку . Если прямая перпендикулярна плоскости , то проектирование оказывает
Таким образом, ортогональной проекцией точки на прямую называется точка пересечения прямой с плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Отметим в заключение, что ортогональное проектирование точки на прямую в пространстве можно определить и так:

ортогональной проекцией точки на прямую называется точка пересечения прямой с прямой, проходящей через точку и пересекающую прямую под прямым углом.

Нетрудно убедиться в том, что при любом из рассмотренных видов параллельного проектирования отрезок проектируется в отрезок, причем, середина отрезка проектируется в середину.

Проекция вектора на ось

Пусть --- ось и --- некоторый вектор. Обозначим через и параллельные проекции точек и на прямую .
Определение 14.1. Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка на оси.

Замечание 14.1. Согласно определению 11.1. проекция вектора на ось --- это число, равное длине отрезка , взятое с определенным знаком.

Проекцию вектора на ось будем обозначать через . В случае ортогонального проектирования применяется обозначение . Отметим, что
ортогональное проектирование есть частный случай параллельного, поэтому для него выполняются все свойства параллельного проектирования, но не наоборот.

Кроме того отметим, что проекцию вектора мы определили через проекцию его представителя, поэтому необходимо доказать, что это определение не зависит от выбора представителя. Это доказательство отнесем к свойствам
проекций векторов на ось.

Свойства проекций векторов на ось.
1. Проекции равных векторов равны.(более точно, проекции эквиполентных направленных отрезков равны)

Доказательство. Пусть . Обозначим через:
проекции точек . Так как , то середины отрезков и совпадают и, кроме того, при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в
середину его проекции, следовательно середина отрезка совпадает с серединой отрезка , значит, .

2. Проекция суммы векторов на ось есть сумма проекций слагаемых векторов, т.е.

Доказательство. Пусть тогда
. Обозначим через: проекции точек . Используя основное тождество (см. теорему 12.1.) для точек оси, получим

.

Для завершения доказательства достаточно заметить, что
.

3. Для ортогональной проекции

где --- угол между вектором и осью.

Доказательство. Пусть . Так как проекции равных векторов равны между собой, то можно считать, что вектор отложен от точки оси . Обозначим через проекцию точки на ось. Если вектор ненулевой и угол --- острый, то (см. рис. 1)

 

 

Если же вектор ненулевой и угол --- тупой, то (см. рис. 2)

В случае когда вектор или он перпендикулярен оси, формула очевидна.