Геометричне моделювання наближеними методами

У різних галузях виробництва застосо­вують об'єкти, геометрична форма яких не може бути описана таким самим за змістом рівнянням, що й рівняння форм класичної геометрії. Приклади таких об'єктів — літа­ки, судна, автомобілі, пропелери, гвинти, лопатки турбін. Форма їх зумовлена функ­ціональними аерогідродинамічними влас­тивостями чи естетичними вимогами. Ха­рактерною рисою проектування таких об'єк­тів є наявність етапів випробування та ко­ригування форми за його результатами. Фізична модель (масштабна чи в натуральну величину) після випробування є єдиним джерелом для визначення вхідних даних для проектної форми об'єкта чи її чер­гової фізичної моделі.

Слід зазначити, що вимоги до методу геометричного моделювання таких об'єктів часто суперечать одна одній. Так, з одного боку, геометрична модель має як найщільніше наближатися до фізичної моделі, з іншого — вона має містити мінімальне чис­ло параметрів, з третього — локальна зміна форми фізичної моделі має відтворюватись у зміну значень лише деяких (а не всіх) па­раметрів геометричної моделі.

Склад вхідних даних геометричної моделі зумовлений вимірюванням на фізичній мо­делі. Вимірюють насамперед координати точок, які називають опорними. Найпрос­тіша схема визначення опорних точок на поверхні передбачає розміщення їх у сім'ї площин рівня. Так, щоб визначити опорні точки на фізичній моделі, на неї наносять n + 1 лінію її перетину з площинами рівня однієї сім'ї та m + 1 лінію перетину з площи­нами ріння другої сім'ї. Ці лінії називають координатними або і лініями каркаса.

Координати опорних точок  ма­ють індекси, які відповідають номерам ліній каркаса, що проходять через відповідну опорну точку (і = 0, 1,..., n; j = 0, 1,....m). Оскільки вимірюють координати лише опор­них точок, то до визначення лінії в проміжках між суміжними опорними точками та до виз­начення поверхні в проміжках між двома парами суміжних ліній каркаса різних сімей називають інтерполяцією. Якщо до визначення виконують у проміжках перед початковою опорною точкою (початкового лінією карка­са) або після кінцевої точки (кінцевої лінії каркаса), то його називають екстаполяцією.

З математичної точки зору рівняння лінії каркаса на площині рівня j= k можна діста­ти у вигляді

                                   (1.149)

 

Коефіцієнти а_і,к знайдемо підстановкою замість х і у значень х_i,j і у_i,j та розв'язанням системи n + і лінійних рівнянь. Аналогічно можна дістати рівняння лінії каркаса i = l, який належить іншій сім'ї, у вигляді

.                                (1.150)

Здобуті рівняння дають змогу обчисли­ти значення коефіцієнта а_i,j. У сукупності з координатами x, y, z рівняння (1.148) чи (1.149) визначають цифрову геометрич­ну модель поверхні. Алгоритм обчислення координати точки, яка належить поверхні і не збігається з жодною опорною точкою, тобто b = x при будь-яких значеннях z = с та c ¹z. при будь-яких значен­нях j має такий вигляд.

1. Користуючись n + 1 рівнянням (1.148) та значеннями коефіцієнта а_i,j, підставимо в кожне з них замість x_j, значення b_j. Діста­немо значення y_b,j.

2. Користуючись n + і рівнянням (1.149) та значеннями z_i,j i y_c,j знаходимо значення n + 1 коефіцієнта a_b,j як результат розв'я­зання системи n + 1 лінійних рівнянь.

3. Підставивши нове рівняння (1.149) коефіцієнти якого (a_b,j) визначені, значен­ня c замісті z, знайдемо шукане значення y.