Рівняння кола, центр якого збігається з початком координат, має вигляд

 х²+у²=R².                                              (1.22)

У параметричній формі

x=Rcost, y=Rsint,                                       (1.23)

де t — кут між Ох та радіусом-вектором точки.

Якщо центр кола має координати (а, b) то рівнянням кола є (рис. 1.6):

(х - а)² + (у - b)² = R²                                  (1.24)

та

х = а + Rсоst, у = b + Rsint.                           (1.25)

Орієнтація кола. Перейдемо від форми задання (1.22) чи (1.24) до неявної фор­ми задання:

x² +y²-R²=0,                                         (1.26)

(x-a)²+(y-b)²-R²=0.                                  (1.27)

Якщо координати точок, які лежать усе­редині кола, підставити в рівняння (1.26) або (1.27), то матимемо зміну знака ''=" на "<".

Можна вважати, що коло (1.26) або (1.27) має такий напрям, що точки, коор­динати яких змінюють знак "=" на знак "<" у рівнянні (1.26) чи (1.27), розміщені, на­приклад, зліва від напряму кола, тим самим визначити його орієнтацію. Щоб змінити напрям кола на протилежний, треба помно­жити рівняння на -1. Тоді матимемо

-x²-y²+R²=0, або –(x-a)²-(y-b)²+R² = 0.

Поділ кола на рівні частини. Щоб поді­лити коло на n рівних частин, треба ввести параметр s:

                                   (1.28)

Кутониіі параметр точок поділу

 t_i=2ps_i                                                    (1.29)

Змінюючи i від 1 до n + 1 обчислюємо спо­чатку s_i  за формулою (1.28), а потім t_i, за формулою (1.29). Підставивши t_i, у рівнян­ня (1.23) або (1.25), знайдемо координа­ти x_i, y_i точок поділу.

Перша точка поділу (і = 1, s_i = 0, t_i = 0) збігається з останньою (i=n+ 1, s_i = 1, t_i = 2p). Цей збіг, як і кінцеве значення i=n+ 1 зроблено навмисно: при кресленні кола чи багатокутника графопобудовником креслярський пристрій міститься у почат­ковій точці двічі — на початку та напри­кінці креслення.

Наведений алгоритм застосовують у програмах креслення правильних багато­кутників і кіл. У другому випадку n виби­рають значно більшим, щоб візуально ба­гатокутник не відрізнявся від кола.

Дуга (відрізок) кола. Параметрами, що визначають будь-яку дугу кола є: х_с, у_с- координати центра; R—радіус; t_п —куто­вий параметр початкової точки дуги; t_д —

Рис.1.9

 

центральний кут, що охоплює дугу, або кутовий параметр дуги. Кути t_п та t_д орієн­товані. Перший — від напряму +х до раді­уса-вектора початкової точки, другий від радіуса-вектора початкової до радіуса-вектора кінцевої точки. Якщо вини спря­мовані проти ходу годинникової стрілки, то значення беруть зі знаком "+", а якщо за ходом - зі знаком "-".

Поділ дуги кола на рівні частини. Наве­дений вище алгоритм для кола треба мо­дернізувати, замінивши формулу (1.29) на

 t= t_п (1-s)+(t_д+ t_д)                                          (1.30)

Решта — без змін. На цьому алгоритмі грунтується програма креслення дуги кола.

Перетин кола та прямої. Щоб знайти координати точок перетину прямої (див-рис. 1.9), заданої у формі (1.2)

Ах + Ву + С = 0,                                           (1.31)

та кола, заданого формою (1.25), знайде­мо рівняння прямої у локальній системі х'О'у’ з початком у центрі кола О' (a,b) (рис. 1.9). За формулами рівняння пря­мої у локальній системі х'О'у'

А(х' +a)+ В(у'+b)+ С=0                                       або

Ах' + Ву' + С + Аа + Вb = 0.                              (1.32)

Згідно з (1.16) та (1.17) визначимо полярні параметри прямої (1.32) у системі х'О'у'

,

                                (1.33)

.

Очевидно, якщо p > R, то розв'язків не існує, якщо р = R, то маємо один розв'язок (дотик), Знайдемо синус та косинус кута

                                 (22.34)

Координати точок перетину прямої з колом у системі

                          (1.35)

 

 

де                                    .

 

Координати точок перетину у системі хОу маємо

                                       (1.36)

Пряма, дотична до кола та паралельна заданій прямій. Форми задання прямої та кола, віднесення їх до локальної системи х'О'у' та вирази (1.32) і (1.33) такі самі, як і в попередньому алгоритмі. Для дотич­них прямих р = R, а кутовий параметр однієї з точок дотику дорівнює куту нахи­лу до осі О'х' полярного параметра р. Звідси координати точки дотику однієї з шуканих прямих у системі х'О'у' є такими:

                                   (1.37)

де cost і sint визначають за формулами (1.33). Координати точки дотику другої прямої у системі х'О'у'

                                       (1.38)

знаходимо як для точки, симетричної точці () відносно початку О'.

Перехід у глобальну систему хОу здійс­нюється ча формулами (1.36). Якщо х_і, у_і— знайдені координати точок дотику у системі хОу, то рівняння дотичних прямих дістанемо у вигляді

А(х +х₁)+В(у-у_і)= О (і= 1,2),                           (1.39)

тобто коефіцієнти А і В такі самі, як і в рівнянні заданої прямої, а вільний член С набуває значення

С_і= -Ах_і - Ву_і.                                             (1.40)

Перетин двох кіл. Розглянемо спочатку випадок окремого розміщення кіл, коли центр першого збігається з початком, а центр другого лежить на осі Ох (рис. 1.10). Задача має два розв'язки, якщо міжцентрова відстань d задовольняє умові (при R₁ > R₂)

.

Тут не розглядаємо тривіальні випадки, коли d=R₁-R₂ або d= R₁+R₂.

Рівняння першого кола                                                              (1.41)

Рівняння другого кола                                                (1.42)

Координати шуканих точок перетину знайдемо як розв'язок системи рівнянь (1.41) і (1.42).

2ах – а²  = ,

звідки

                           (1.43)

У загальному випадку розміщення (рис. 1.11) при заданих координатах центрів і ра­діусах знаходимо міжцентрову відстань

                                     (1.44)

та компонент повороту локальної системи з початком у центрі першого кола й віссю 0'х’, що збігається з 0₁ 0₂, відносно гло­бальної системи хОу:

t=f(x,y).                                                       (1.45)

Далі знаходимо x_n1,2, y_n1,2 за формулами (1.43) у локальній системі та зводимо результат до гло­бальної системи, враховуючи, що х1=х0, у0=у1, a=t.