Площа та координати центра ваги плоскої фігури

Як відомо, площу елементарної фігури, обмеженої графіком у = f(x), віссю Ох та прямими x=c, x=d, визначають як

.                                            (1.79)

Координати центра ваги елементарної фігури:

                                      (1.80)

де

-                                       (1.81)

статичний момент площі елементарної фі­гури відносно осі 0x;

                                   (1.82)

статичний момент площі елементарної фігури відносно осі Оу.

У формулах (1.79), (1.81) і (1.82) верхній знак відповідає f(x) > 0, a нижній -

f(x) < 0.

За умов розглядуваної задачі під плоскою фігурою розуміють плоску область, обме­жену замкненими контурами, що не перетинаються між собою. Кожний контур є замкненою ламаною. Якщо деякі з контурів криволінійні, то вони заздалегідь з достат­ньою точністю апроксимуються ламаними.

Вважатимемо, що вузли р контурів, які обмежують область, визначаються масива­ми координат х_ij, y_ij (i=1,2,…, mⁱ; j=1,2,.., p) та умовами замкненості x_1j= x_mj, y_1j=y_mj. Отже, кожний контур містить n^j=m^j-1 вузлів, які не збігаються. Не­хай також вузли обмежувальних контурів упорядковані так, що матеріальна площа лежить справа від напряму впорядкування.

Тоді згідно з означенням плоскої фігури та прийнятими домовленостями знак перед правими частинами виразів (1.79), (1.81) і (1.82) можна опустити. Елементарною фігурою буде трапеція, а підінтегральною функцією — лінійна функція.

ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ У ПРОСТОРІ

Задання площини та ліній

Площина у просторі. Площину в прямо­кутних декартових координатах задають у неявній формі

Ах + Ву + Сz+D=0.                                         (1.83)

Ця площина поділяє простір на два півпростори, які можна визначити коефіцієнтом

 .                                     (1.84)

Для координат x1, y1, z1, будь-якої точки першого півпростору р=1, для точки, яка належить другому півпростору, р = 1, а якщо точка належить площині, то р = 0.

У нарисній геометрії площину задають, проекціями її визначника: трьома точками. що не належать одній прямій: точкою та прямою, що не проходить через точку, двома перетинними прямими: двома паралель­ними прямими, плоскою фігурою; слідами. Від графічної форми задання будь-яким визначником доцільно перейти. Взявши на площині три неколінійні точки М0(х0, у0, z0), M1(x1, y2, z3), М2,(x2, y2, z2) та підставивши координати їх у форму­ли для визначення коефіцієнтів А, В, С, D.

Дістанемо

, , ,

                                     .                         (1.85)

Як уже зазначалося окремим випадком задання площини є той, коли вона за своїм положенням відносно деякої координатної системи с площиною рівня.

Ідея поширення класичних координатних систем спеціальними системами та склад спеціальних систем зумовлені піднесенням будь-якої площини (див. формулу (1.85)) до такої системи координат, в якій вона б була б площиною рівня. Реалізація цієї умови дає змогу в компактній формі задавати плоскі лінії у просторі, діставати рівняння ліній перетину поверхні з площиною:

· задавати кінематичні поверхні з плоскою твірною;

· розв'язувати позиційні задачі на цій по­верхні;

· використовуючи допоміжні січні площини загального (у термінах нарисної геометрії) положення.

Зберігаючи позначення та узагальнюючи їх на тривимірний простір, надамо рівнянням вигляду

                   (1.86)

Завдяки введеним спеціальним системам координат та їхнім властивостям щодо піднесення будь-якої площини до такої си­стеми, де вона є площиною рівня, з'являєть­ся практично доцільний спосіб задання прямої та плоскої кривої лінії у відповідній системі спеціальних координат виразами

                                         (1.87)

або

                                  (1.88)

Ці рівняння можна віднести до залеж­ності прямокутних декартових координат від спеціальних.

Застосовуючи рівняння інцидентності площин прямої чи плоскої кривої, визна­чимо тип системи та значення t за наведе­ним алгоритмом. Підставивши формули дістанемо параметричні рівняння прямої чи плоскої кривої.

Функція для прямої мас вигляд

,                                              (1.89)

де k і b відіграють ту саму роль на площині t=const у декартовій прямокутній системі u0v, що й у системі xОу.

Для кола радіуса r, координати центра якого в системі u0v є (a,b), функція має вигляд

.                                    (1.90)

Для цього самого кола функції (1.88) набувають вигляду

                                 (1.91)

Розглянемо тепер форми задання ще од­ного класу просторових кривих: гвинтових та квазігвинтових ліній.

Гвинтову циліндричну лінію задають функціями залежності прямокутних декар-тових координат від циліндричних або під узагальнених циліндричних координат, де

                                               (1.92)

Якщо в циліндричній системі координат радіус гвинтової лінії дорівнює r, то в узагальненій циліндричній системі він дорів­нює . В обох випадках крок гвин­тової лінії становить. 2kp.

Квазігвинтовою називають лінію, що зі сталим кроком напинається на поверхню обертання. Квазігвинтова лінія в гіпербо­лічних координатах задається функ­ціями (1.92). Якщо u=c=0, то вона роз­міщена на конусі, якщо u=c¹0, то вона розміщена на однопорожнинному гіперболоїді.

Задання поверхонь

У неявній формі центральні по­верхні обертання другого порядку задають, функцією

                                     (1.93)

Залежно відзначень параметрів, що вхо­дять у рівняння (1.93), воно визначає:

 стиснений еліпсоїд (р = 1, q= 1, а > с);

витягнутий еліпсоїд (р = 1,q=1, a < с);

 сферу (р = 1,q=1, a = с);

однопорожнинний гіперболоїд (р = -1,q=1);

двопорожнинний гіперболоїд (р = -1,q = -1);

конус (р = -1, q = 0).

Після переходу згідно з залежністю до циліндричних координат та розв'язан­ня рівняння відносно u дістанемо

                                               (1.94)

або після підстановки u в рівняння матимемо рівняння цього класу поверхонь у параметричній формі:

                      (1.95)

Рівняння циліндра, вісь якого збігається з Оz, у неявній формі мас вигляд

                                          (1.96)

а в параметричній формі ‑‑‑‑

                                    (1.97)

Рівняння гіперболічного параболоїда в явній формі

                                              (1.98)

Розглянемо інші класи поверхонь, що задають внутрішнім рівнянням у спеціаль­них координатах. Внутрішні рівняння класів та підкласів поверхонь в узагальне­них циліндричних та гіперболічних коор­динатах, як правило, збігаються. Внутрішні рівняння можна діста­вати в явній, неявній та параметричній фор­мах. У параметричній формі параметр t є одним з функціональних параметрів, а другим параметром є інший, який відріз­няється від змінних u та v.

Для переходу до параметричної форми задання у прямокутних декартових коор­динатах треба внутрішні рівняння підста­вити у формули, що виража­ють залежність прямокутних декартових координат від узагальнених циліндричних чи гіперболічних координат,

Лінійчаті поверхні задають рівнянням

                                        (1.99)

Внутрішні рівняння підкласів лінійчатих поверхонь дістають при певних значеннях функцій  та . Якщо

                          (1.100)

то маємо поверхні однакового нахилу до площини хОу.

Якщо                                                                                        (1.101)

то маємо поверхні з площиною паралелізму х0у. Якщо

                           (1.102)

то маємо однопорожнинний гіперболоїд обертання.

Розгортні поверхні в узагальнених ци­ліндричних координатах задають рівнян­нями

                        (1.103)

а в гіперболічних координатах — рівнян­нями

                     (1.104)

Внутрішні рівняння ребра обертання цієї поверхні знайдемо підстановкою u = 0 в рівняння (1.103) або (1.104) відповідно.

Циліндр в узагальнених циліндричних координатах, однопорожнинний гіпербо­лоїд у гіперболічних:

u=c=const, v=v.                                 (1.105)

Гвинтові поверхні в узагальнених ци­ліндричних та квазігвинтові поверхні в гі­перболічних координатах:

v=f(u)+kt.                                      (1.106)

Зокрема, якщо f(u) = bu(b=const), то маємо лінійчату поверхню

v=bu+kt.                                           (1.107)

Розгортні гвинтові поверхні в узагаль­нених циліндричних координатах:

.                                   (1.108)

Розгортні квазігвинтові поверхні в гіперболічних координатах:

.                             (1.109)

Циклічними називають поверхні, що ут­ворюються колом.

Якщо коло як твірна має сталий радіус, то циклічну поверхню називають трубчастою.

Циклічну поверхню, циклічний каркас якої збігається із сім'єю ліній кривини, на­зивають каналовою.

Циклічні поверхні в неявній формі зада­ють рівнянням

.                    (1.110)

При j(t) = соnst маємо трубчаті повер­хні:

.                      (1.111)

Якщо  то дістаємо поверхні обертання:

.                            (1.112)

Якщо  то маємо гвинтові чи квазігвинтові циклічні по­верхні:

.                             (1.113)

Якщо , то маємо каналові поверхні в узагальнених циліндричних координатах:

,                     (1.114)

а якщо  то каналові поверхні в гіперболіч­них координатах:

.             (1.115)

Різьблену поверхню Монжа в узагальнених циліндричних координатах задають рів­нянням

,                                         (1.116)

зокрема, циклічну

                   (1.117)

а гелікоїд

                                 (1.118)

Багатогранні поверхні. Узагальнені ци­ліндричні й гіперболічні координати засто­совують відповідно для задання правиль­них призм і пірамід.

Визначником правильної призми доціль­но вважати: r—радіус вписаного в призму циліндра, який може бути внутрішнім па­раметром узагальненої циліндричної сис­теми: t_n — кутовий параметр однієї з гра­ней (кут між площиною хОz та променевою площиною, що проходить через 0z і лінію дотику деякої грані призми та циліндра сис­теми); h -- висота призми. При цьому вва­жають, що нижня основа призми лежить на площині х0у. а верхня па площині z= h; n -- кількість гранєй.

Рівняння граней призми дістанемо у ви­гляді (1.87), надаючи t таких значень:

.                          (1.119)

Якщо підставимо у рівняння (1.88) зна­чення t_i з рівняння (1.119) та

                                         (1.120)

то матимемо рівняння ребер призми.

Визначником пранильноїпірашди є: a -кут нахилу грані до осі Оz, що збігається з внутрішнім параметром гіперболічної сис­теми, t_n — кутовий параметр однієї з гра-ней (кут між площиною хОу і променевою площиною, що проходить через Оz. та лінію дотику деякої грані до конуса системи), h— висота піраміди. Вважають що вершина піраміди лежить у початку координат, а основа — на площині.

Рівняння граней піраміди дістанемо у вигляді (1.88), надаючи t значення з рівнян­ня (1.119).

Рівняння ребер піраміди знайдемо як рівняння прямих, що проходять через дві точки S(0, 0, 0) та А_і (х_і, у_і, z_i):

                                   (1.121)

де x_i, y_i, визначають підстановкою значень t_i з формули (1.119): v =-h та

 .                                         (1.122)