Задача максимального одействия. Объект 3 порядка

Решение задач управления по критерию максимального быстродействия резко усложняется с повышением порядка дифференциальных уравнений, описывающих объект управления.

Основным методом решения задачи максимального быстродействия для объектов, описываемых диффе ренциальными уравнениями выше второго порядка, является поиск моментов переключения.

Для случая объекта 3 порядка, собственные числа которого являются вещественными числами, задача поиска может быть сформулирована следующим образом:

Требуется найти такие значения параметров ,  и , где  и  моменты переключения знака управляющего воздействия, а  - момент выключения управления, при которых расстояние между изображающей точкой, соответствующей моменту  и требуемым конечным состоянием объекта, было бы минимальным. Практика выполнения расчетов показывает, что зависимость точности обеспечения заданных конечных условий от набора моментов переключения носит очень сложный характер и содержит большое количество локальных экстремумов. В таких условиях существенно возрастает значение выбора начальной точки поиска.

Одним из возможных способов определения начальной точки поиска является решение промежуточной задачи максимального быстродействия для усеченного объекта 2 порядка.

Более подробно процесс решения задачи максимального быстродействия для объекта 3 порядка рассмотрим на следующем примере.

Допустим, что объект управления описывается следующими уравнениями:

где , ,  - состояния объекта управления,  - управляющее воздействие,  - момент времени перевода объекта в конечное состояние.

Очевидно, что собственные числа рассматриваемого объекта являются вещественными, следовательно, в соответствии с теоремой об  интервалах, для управления этим объектом управляющее воздействие должно быть максимально по модулю и менять знак 2 раза.

Очевидно, также, что оптимальной траектории с заданными граничными условиями на плоскости  соответствует замкнутая кривая, на которой находятся две точки переключения.

На первом этапе решения задачи выберем первую точку переключения произвольно (). При выбранном значении  момент второго переключения  и момент выключения управления  могут быть однозначно определены с помощью построения линии переключения в плоскости  методом обратного времени.

Поскольку момент  был выбран произвольно конечное состояние объекта управления по состоянию  будет отличаться от заданного. Обозначим его .

Таким образом, мы получили набор моментов переключения, который обеспечивает минимальное время перевода объекта в точку промежуточного финиша: [  0 0].

Для определения набора точек переключения, соответствующего заданным конечным условиям требуется выполнить серию поисковых расчетов, в каждом из которых в качестве начального набора точек переключения использовать результат предыдущего расчета, а точка промежуточного финиша систематически приближается к заданному конечному состоянию.

С одной стороны, увеличение скорости приближения точки промежуточного финиша к заданному положению может уменьшить потребное количество расчетов но, с другой стороны, может спровоцировать сходимость поиска к ошибочному локальному минимуму или привести к аварийному завершению процесса поиска (например, по исчерпанию лимита итераций).

Описанные выше вычисления могут быть выполнены с помощью следующих MATLAB программ:

Файл Main7.m

% Определение начальной комбинации моментов переключения

global T t1 t2

% Построение линии переключения в плоскости x2x3 c

% использованием обратного времени

[t,x]=ode45(‘Odefun7_1’,[0 5],[0 0 0]);

plot(x(:,2),x(:,3),’r’)

hold on

% Построение траектории из нач. состояния в прямом времени

t1=1;

t2=1.5;

T=2;

[t,x]=ode45(‘Odefun7_2’,[0 T],[1 0 0])

plot(x(:,2),x(:,3),’b’)

 

Файл Odefun7_1.m

function f=Odefun7_1(t,x)

u=-1;

f=[-(x(2));-(-x(2)+x(3));-(-2*x(3)+u)];

 

Файл Odefun7_2.m

function f=Odefun7_1(t,x)

global t1 t2

if t<t1

u=-1;

elseif t<t2

u=1

else

u=-1

end

if t>T

u=0;

end

f=[x(2);(-x(2)+x(3));(-2*x(3)+u)];

 

Выполненные с помощью программы расчеты показали, что набор моментов переключения  позволяет перевести объект в точку промежуточного финиша с координатами

Полученный набор точек переключения и координаты точки промежуточного финиша использовались для уточнения набора точек переключения и координат точки промежуточного финиша методом поиска, реализованного в следующей программе.

Файл Main7_2.m

t0=[1 1.85 2.1]

T=fminsearch(‘fmsfun7_2_1’,t0)

 

Файл fmsfun7_2_1

function f=fmsfun7_2_1(T)

global TT x

TT = T;

[t,x]=ode45('odefun7_2_1',[0 T(3)],[1 0 0]);

xf=[0.78 0 0];

f=(x(length(t),1)-xf(1))^2+(x(length(t),2)-xf(2))^2+(x(length(t),3)-xf(3))^2;

% plot(x(:,2),x(:,3),'b')

plot(t,x)

pause(0.1)

 

 

Файл odefun7_2_1

function f=odefun7_2_1(t,x)

global TT

if t<TT(1)

u=-1;

elseif t<TT(2)

u=1

else

u=1

end

if t>TT(3)

u=0;

end

f=[x(2);-x(2)+x(3);-2*x(3)+u];

 

Программа Main7_2.m позволила получить хорошие результаты всего за два шага.

На первом шаге использовался набор точек переключения  и точка промежуточного финиша . Результатом работы программы был уточненный набор точек переключения .

На втором шаге использовался набор точек переключения, полученный на первом шаге, и новые координаты точки промежуточного финиша . В результате второго шага получен набор точек переключения , обеспечивающий перевод объекта в конечную точку с приемлемой точностью.

Индивидуальные задания (по бригадам)

По каждому варианту необходимо определить набор моментов переключения знака управляющего воздействия, который необходим для перевода объекта из состояния [10 0 0] в состояние [0 0 0] а также определить момент выключения управления.

Модуль управляющего воздействия не может превосходить 1.

Кроме определения моментов переключения необходимо построить графики зависимости состояний объекта и управления от времени, соответствующие оптимальному переходу из начального состояния в конечное.