Принцип максимума Понтрягина. Линейная квадратичная задача.

Рассматриваемая задача заключается в том, чтобы перевести объект управления из начального состояния в конечное таким образом, чтобы минимизировать функционал вида:

Особенностью линейной квадратичной задачи является то, что соответствующее управляющее воздействие может быть получено не только в виде функции времени, но и виде линейной функции состояний объекта управления.

Рассмотрим решения задачи на примере.

Требуется найти управляющее воздействие, переводящее объект управления

                                                                                          (6.1)

из состояния

в состояние

таким образом, чтобы обеспечить минимум следующего функционала

                                                                             (6.2)

 

Решение задачи находится путем выполнения стандартных шагов.

 

Гамильтониан

 

Исходя из максимизации Гамильтониана, находим оптимальное управление в функции сопряженных переменных

Система сопряженных уравнений

 

Общая система уравнений, среди решения которой находится искомое управление

                                                                                    (6.3)

 

Для решения полученной системы уравнений применим метод преобразования Лапласа. Следует отметить, что при записи преобразованной по Лапласу системы уравнений необходимо ввести в рассмотрение значения начальных условий для переменных сопряженной системы уравнений. Эти начальные условия первоначально неизвестны, но будут определены позднее исходя из обеспечения заданных конечных условий для объекта управления.

 

Преобразованная по Лапласу система уравнений имеет вид

                                                                      (6.4)

Поскольку , для определения L-изображения управления необходимо найти решение последней системы уравнений относительно .

В соответствии с правилом Крамера можно записать

 

 

где

 

Анализируя полученное выражение для  (точнее ) можно заметить, что выражение для  во временной области будет содержать 4 экспоненты, две из них будут иметь положительные степени, а другие две – отрицательные. Очевидно, что наличие возрастающих экспонент не позволить получить конечное значение критерия качества (6.2) и противоречит заданным конечным условиям для , следовательно, из всех решений системы уравнений (6.3) необходимо выбрать те, у которых постоянные интегрирования обеспечивают равенство нулю коэффициентов перед возрастающими экспонентами. Это условие вполне может быть выполнено за счет соответствующего вычисления .

 

Запишем решение системы уравнений (6.4) выделив составляющие, соответствующие затухающим и возрастающим экспонентам во временной области.

 

                 (6.5)

Неизвестные коэффициенты  определяются из условия равенства соответствующих полиномов в выражении (6.5)

    (6.6)

Из условия равенства полиномов (6.6) следует равенство коэффициентов при одинаковых степенях  в этих полиномомах.

Полученные выражения показывают, что для подавления возрастающих экспонент необходимо выбрать начальные условия для сопряженных переменных следующим образом:

                                                                                            (6.7)

или

                                                                            (6.8)

Исключение неизвестных  из уравнений (6.8) позволяет получить следующую систему уравнений для начальных условий для сопряженных переменных:

При этом постоянные интегрирования примут следующие значения:

                                                                         (6.8)

Полученные соотношения уже позволяют получить выражение для управления как функции времени на основе обратного преобразования (6.4) по Лапласу.

Для получения управления с обратными связями необходимо выполнить следующую работу:

 

- получить L-изображение управляющего воздействия для объекта управления замкнутого пока неизвестными обратными связями;

 

- составить систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов обратной связи путем приравнивания выражения для L-изображения управляющего воздействия замкнутого объекта управления и выражения для оптимального управления, полученного на основе (6.5).

 

Рассмотрим эти операции применительно к рассматриваемому примеру.

 

Уравнения замкнутого объект управления получаются из (6.1) в предположении, что

(6.9)

Определение коэффициентов обратной связи выполняется на основании выражений (6.5), (6.7), (6.9) и (6.8)

 

Индивидуальные задания (по бригадам)

По каждому варианту необходимо получить аналитические выражения для оптимального управления как функции времени и оптимальные значения для коэффициентов обратной связи, а также построить графики переходных процессов в оптимальной системе (, , )

Для всех вариантов граничные значения состояний объекта управления .