Учитывая, что по закону Гука

                                                                                                (4.5)

и обозначив , запишем систему канонических уравнений для определения

                                                   (4.6)

Если , то по (4.5)  , то есть   - реакция в связи основной системы с номером  i от перемещения . В дальнейшем  будем называть единичными реакциями. Свободные члены системы уравнений  представляют собой реакции в связях основной системы от заданной нагрузки. Их часто называют грузовыми реакциями. Все реакции  положительны, если направлены в ту же сторону, что и соответствующее перемещение .

Для определения реакций в связях основной системы применяются два способа: статический и аналитический. При статическом способе реакции во введённых связях определяются, используя метод сечений - составляя уравнение равновесия части расчётной схемы, содержащей конкретную связь. Этот способ рассмотрим на примере в п. 4.4.

 

4.1.3. Аналитический способ определения реакций в основной системе

 Рассмотрим фрагмент основной системы метода перемещений в виде одной балки II типа в двух состояниях: при  и  Эпюры изгибающих моментов в таких балках построим с помощью готового решения (см. п 3.3, пример № 6). Превратим нашу балку в двух состояниях в балку с шарнирами у плавающих заделок, приложив к сечениям справа и слева от шарниров соответствующие изгибающие моменты Будем считать состояние i действительным, а j - состоянием, перемещения в котором являются возможными для состояния i.

В соответствии с принципом возможных перемещений (см.п.2.3), используя (2.12), (2.13) получим   

Единственным внешним силовым фактором в состоянии i, совершающим работу, является единичная реакция :

Применяя к двум состояниям теорему о взаимности возможных работ (2.37), получим  Отсюда,

                                                 ,                                                    (4.7)

выражающее теорему о взаимности единичных реакций, которая приводит к симметричности коэффициентов  при неизвестных  в системе (4.6) относительно членов  на главной диагонали.

Окончательно, имеем .                                (4.8)

Следовательно, для вычисления реакции в связи основной системы с номером i от перемещения  нужно построить в основной системе эпюры изгибающих моментов в обоих единичных состояниях (при  и ), и перемножить их под интегралом, например, используя правило Верещагина.

Для вывода формулы грузовой реакции  рассмотрим основную систему метода перемещений для рамы

Соответственно  состояние основной системы при единичном повороте введённой связи i на угол   (i- е состояние) и состояние при действии силы Р (р -ое состояние). В каждом из этих состояний в связях возникают соответствующие реакции. Для того, чтобы к этим состояниям можно было применить теорему о взаимности работ, поступим следующим образом. Представим систему, в которой отсутствуют плавающие заделки i и j и часть заданных опорных связей, и приложим к этой системе сначала все реакции в этих связях в i -ом состоянии (  ) - получится состояние  , а затем к той же системе приложим все реакции в р -ом состоянии () и силу Р - получится состояние . Обе системы имеют одинаковые опорные закрепления и, следовательно, перемещения в любой из этих систем являются возможными для другой. По теореме о взаимности работ

                                                   ,                                           (4.9)

где - работа сил в состоянии  на возможных перемещениях для этой

системы, за которые приняты перемещения в состоянии :

         ;                                      (4.10)

  - работа сил в состоянии  на возможных для него перемещениях в состоянии :                            =0.                                                    (4.11)

Подставляя (4.10) и (4. 11) в (4.9), получим

                                .                                    (4.12)

Отсюда ,                                                                     (4.13)   

где    - перемещение по направлению Р, вызываемое поворотом узла .

Это перемещение может быть найдено по формуле Мора

                                         .                                     (4.14)

Напомним, что суммирование проводится по всем участкам стержневой системы.                                  

В соответствии с (4.14) нужно построить две эпюры моментов:  -ординаты эпюры моментов в основной системе метода перемещений от причины, вызывающей ,- от поворота   (эти ординаты определяются по готовым решениям, рассмотренным в параграфе 3.3);  - ординаты эпюры изгибающих моментов в системе без плавающих заделок от силы , приложенной по направлению искомого перемещения (совпадает с направлением силы Р, от которой мы ищем реакцию в основной системе метода перемещений).

Если умножить ординаты  на Р, как это требуется по (4.13), то получим ординаты эпюры , то есть ординаты эпюры изгибающих моментов в системе без связей метода перемещений от заданной силы Р, и, подставляя (4.14) в (4.13), окончательно будем иметь

                                             .                                 (4.15)

Остановимся подробнее на проблеме выбора системы для построения эпюры . В этой системе должно быть одно ограничение - в ней должна отсутствовать связь, препятствующая перемещению . Система может иметь много разновидностей. Например, система и система при вычислении (4.15) дадут одинаковый результат. Действительно, при перемножении эпюры   на эпюру  

,

а при перемножении эпюры  (рис,64ж) на эпюру  

 .

Выбрав систему, мы получим неверный результат, так как эта система не удовлетворяет требованию отсутствия связи по направлению .

Системы, обеспечивающие правильный результат и, статически определимые. Но это качество несущественно - если у нас есть готовая эпюра от нагрузки в статически неопределимой системе, которая может быть получена из заданной путём отбрасывания не всех n связей, то при перемножении по (4.15) мы получим правильный результат.

Эпюра изгибающих моментов для неё получена методом сил (расчет опускаем). При подстановке в (4.15) она даёт тот же результат, что и эпюры

,

Самым простым явилось применение системы Конечно, использование статически неопределимых систем для определения  более трудоёмко, чем статически определимых.

Подводя итог, приходим к выводу, что если систему для построения эпюры  образовывать из заданной, а не из основной метода перемещений, то связь, препятствующая перемещению по направлению i, о которой шла речь выше, будет отсутствовать всегда.

Таким образом, для вычисления грузовой реакции  во введённой связи с номером i от заданной внешней нагрузки нужно сделать следующие действия:

1) Построить в основной системе метода перемещений эпюру изгибающих моментов  от ;

2) Выбрать из заданной системы геометрически неизменяемую статически определимую систему (так, как это делалось при расчёте по методу сил - путём отбрасывания n лишних существующих связей) и построить в ней эпюру  от внешней нагрузки:

3) Перемножить обе эпюры под интегралом и взять результат с обратным знаком.

 

4.1.4. Статический способ вычисления реакций в основной системе метода перемещений и их аналитическая проверка на примере расчёта рамы

Построить эпюру изгибающих моментов для рамы при действии на неё узловой горизонтальной силы Р =90 кН и равномерно распределённой нагрузки q =30 кH/м. 

Решение.

1. Устанавливаем степень кинематической неопределимости (4.1):

                                                .

=1 - один жёсткий узел (не считая опорных).

Для определения  врезаем во все узлы (включая и опорные) полные шарниры и считаем степень подвижности (4.2) W = 2 Y-C. Y =2 - число изолированных узлов, С =4 - число связей, W =2*2-4 =0.

Общее число связей достаточно для неизменяемости, но одна из вертикальных связей поставлена неверно - шарнир С соединён с “землёй“ двумя связями, лежащими на одной прямой. Система  мгновенно изменяемая - возможно горизонтальное смещение диска ВС. Этот случай разобран в п. 4.1.1. и число линейных неизвестных = =1. Итак, степень кинематической неопределимости равна =2. Неизвестные метода перемещений: угол поворота  и линейное перемещение диска ВС на величину .

2. По направлению неизвестных устанавливаем дополнительные связи - образуем основную систему метода перемещений. В месте угла поворота  устанавливаем плавающую заделку, а по направлению перемещения - линейную связь. Основная система представляет собой составленные вместе статически неопределимые балки I и II типа. Основная система находится под действием заданной нагрузки и неизвестных перемещений  и . Направления перемещений выбираем произвольно и они будут считаться положительными на протяжении всего дальнейшего расчёта.

3. Записываем систему двух канонических уравнений метода перемещений по (4.6):

4. Вычисляем коэффициенты канонических уравнений. Для этого основную систему метода перемещений рассматриваем в трёх независимых состояниях, в каждом из которых строим эпюру моментов (учитываем только деформации изгиба). В первом состоянии плавающая заделка в узле С поворачивается на угол  (чёрточка указывает, что  не равно , а только совпадает с  по направлению). Перемещение по направлению  отсутствует. Эпюра моментов  в каждом из стержней основной системы строится по готовым решениям для балок I и II типов (см. п. 3.3) в соответствии с видом изогнутой оси  - ординаты откладываются в сторону растянутого волокна.

Во втором состоянии ригель смещается на величину , а плавающая заделка не поворачивается. Эпюра моментов  так же строится с помощью шаблонов (см. п. 3.3) в соответствии с видом изогнутой оси каждой балки I и II типов.

В третьем состоянии основная система находится под действием заданной нагрузки при неподвижных опорных закреплениях. Эпюра  так же строится с помощью готовых решений (см. п. 3.3).

    Коэффициенты канонических уравнений будем определять статическим способом

Коэффициент  - это реакция в плавающей заделке по направлению перемещения  от самого этого перемещения. Вырезаем в первом состоянии узел с плавающей заделкой и показываем в сечениях изгибающие моменты, величина и направление которых соответствует эпюре .

 

    Здесь же показываем искомую реакцию , положительное направление которой всегда должно совпадать с выбранным направлением .

Составляем уравнение равновесия для узла

Коэффициент   - это реакция в плавающей заделке от перемещения . Поэтому в состоянии 2 вырезаем узел с плавающей заделкой 1, показываем реакцию  и все изгибающие моменты в сечениях, учитывая положение растянутых волокон по эпюре . Составляем уравнение равновесия для узла

Коэффициент  - это реакция в связи 2 от перемещения  в состоянии 1. Поэтому в состоянии 1 вырезаем ригель ВС, показываем реакцию  в опорной связи и поперечные силы в сечениях стержней, примыкающих к ригелю. Положительное направление  показываем совпадающим с направлением . В сечениях стоек показываем поперечные силы, величина и направление которых соответствует эпюре . Составляем уравнение равновесия ригеля ВС   

Видим, что по величине , что соответствует (4.7). Интересно, что  и    совершенно различные физические величины: - реакция в виде момента, а  - реакция в виде силы. 

Коэффициент  - это реакция в связи 2 от перемещения  в состоянии 2. Поэтому выполняем ту же процедуру, что и при вычислении , но в состоянии 2. Составляем уравнение равновесия ригеля ВС

Для определения свободных членов системы уравнений или “грузовых“ реакций рассматриваем третье состояние с эпюрой . Реактивный момент  в плавающей заделке №1 равен нулю, так как сила Р приложена к центру узла. Реактивный момент   определяем, вырезая узел с плавающей заделкой в третьем грузовом состоянии. Составляем уравнение равновесия

 кНм.

Реакция в связи 2 от нагрузки q равна нулю =0, а для вычисления , рассмотрим равновесие ригеля в третьем состоянии

кН.

5. Проводим проверку правильности вычисления коэффициентов. Для этого воспользуемся формулами (4.8) и (4.15). Построим суммарную единичную эпюру в основной системе метода перемещений. Ординаты эпюры     определяются по формуле . Кроме того, построим из заданной статически определимую геометрически неизменяемую систему и определим в ней изгибающие моменты от заданной нагрузки - ординаты эпюры . 

Вычислим интеграл типа (4.8)

       (4.17)

Таким образом, если вычислить  с помощью перемножения эпюры  саму на себя под интегралом, то результат должен быть равен сумме коэффициентов при неизвестных. Проведём эту проверку:

С другой стороны

Результаты совпали, следовательно, коэффициенты при неизвестных найдены верно.

Далее вычислим интеграл типа (4.15)

где индекс Р объединяет действие и нагрузки q и сосредоточенной силы. Таким образом, если вычислить   с помощью перемножения под интегралом эпюры    на эпюру , то результат будет равен сумме “грузовых” коэффициентов системы уравнений. Для нашей системы получим 

.

С другой стороны  .

Результаты совпали, следовательно, свободные члены системы уравнений найдены верно.

 

4.1.5 Продолжение расчёта рамы методом перемещений в матричной форме

В дальнейшем конкретные вычисления для рамы будем сопровождать выводом формул для общего случая n раз кинематически неопределимой системы.

1. Размечаем начало и конец каждого участка рамы своим номером, выбираем правило знаков для ординат эпюр моментов для каждого участка - готовим схему рамы к расчёту в матричной форме (точно так же, как при расчёте по методу сил).

Конечной целью расчёта является вычисление вектора , элементами которого являются ординаты окончательной эпюры моментов в расчётных сечениях и величины стрелок на участках, где действует равномерно распределённая нагрузка. Если в системе H сечений и одна стрелка, то

                    .          (4.18)

2. После выбора основной системы метода перемещений (для нашей рамы это сделано в п. 4.1.1) запишем вектор неизвестных

                                     .                               (4.19)

3. Записываем систему n канонических уравнений метода перемещений типа (4.6) в виде

                   ,                                   (4.20)

где   - матрица единичных реакций или матрица жёсткости

                                     ,                       (4.21)

         - вектор грузовых или свободных членов

                                                                            (4.22)

4. В основной системе строим эпюры моментов при нескольких состояниях: единичных (всего n) и грузовом (для нашего примера это уже сделано в п. 4.1.4 [4]). Все единичные эпюры, записанные в виде матриц столбцов, образуют матрицу влияния моментов (аналогично (3.9) в методе сил)

                                                                  (4.23)

Ординаты грузовой эпюры образуют вектор . Для нашего примера

                                    ;

                                       .

5. Из заданной системы путём отбрасывания связей образуем статически определимую систему, в которой от нагрузки строим эпюру моментов, ординаты которой образуют вектор

                                      .

 

6. Проведём вывод формул для вычисления матриц  и .

Сравнивая формулу для перемещений типа (3.7)

и для единичных реакций (4.8)

, убеждаемся в их полном структурном совпадении (при этом изгибающие моменты в обеих формулах возникают в разных основных системах). Поэтому можно определять по трёхчленной матричной формуле

                                              = ,                                 (4.24)

где и  - векторы эпюр моментов в единичных состояниях (при  и ) основной системы метода перемещений. Таким образом, для всей матрицы реакций можно применить формулу типа (3.12)

                                                                                        (4.25)

Рассуждая аналогичным образом, вместо (4.15) в матричной форме будем иметь

                                                                                    (4.26)

Далее весь вектор можно получить по формуле

                                                                                     (4.27)

Формулы (4.25) и (4.27) получены для общего случая. В нашем примере мы получили коэффициенты системы уравнений статическим способом (см.п.4.1.4) 

 

                                 ;   .

7. Решаем систему уравнений (4.20) с помощью обратной матрицы

                                                                                    (4.28)

Обратная матрица для нашей системы имеет вид

                                    .

Проводя вычисления по (4.28), получим вектор перемещений                                                       

                            .

Отрицательные величины перемещений свидетельствуют о том, что их направления не совпадают с выбранными в начале расчёта.

8. Окончательные значения изгибающих моментов в отмеченных сечениях рамы получим складывая эпюры от каждого  и от нагрузки в основной системе. Ординаты эпюр от  вычисляем умножением единичных эпюр на найденные значения . Вся процедура умножения на  и сложения векторов описывается (так же как и в методе сил (3.15)) формулой

                                                                                       (4.29)

Для нашей рамы без учёта стрелки (будет учтена при построении окончательной эпюры)

    Отметим, что так же как в методе сил, абсолютная величина жёсткости сечения не влияет на значения ординат окончательной эпюры моментов - играют роль отношения жёсткости каждого сечения к модульной жёсткости, за которую можно принять любое значение.

9. Проведём проверку правильности построения статическим способом. Вырежем узел С и в сечениях покажем изгибающие моменты. Составим уравнение равновесия -7.6974 - 57.8283 + 65.5227 = 0. Условие равновесия узла удовлетворяется.

    Проведём деформационную проверку. Для этого превратим заданную систему в статически определимую, приложим в точке К силу  и построим эпюру моментов . Эту эпюру будем использовать для определения горизонтального перемещения точки К, которое заведомо должно быть равно нулю, так как в этом месте находится опора К.

Погрешность составляет . Точность вполне достаточная, следовательно, окончательная эпюра изгибающих моментов построена верно.

10. Построим эпюру поперечных сил так же, как это делалось в п. 3.1.3 при расчёте рамы методом сил.

Участок 1-2.  

Участок 5-6.

Участок 7-8.

Вырезаем участок 3-4 и из условий его равновесия определяем поперечные силы в крайних сечениях.

Проверка

11. Построим эпюру нормальных сил, рассматривая равновесие узлов рамы.

Узел 2-3.       

Узел 4-6-7.

Нормальные силы в крайних сечениях ригеля 3-4 одинаковы. Для вычисления двух значений и остаётся одно уравнение - - 42.43 = 0.

Следовательно, задача определения нормальных сил является статически неопределимой и нужно составить уравнение деформаций вдоль стоек 5-6-7-8.

Под действием растягивающих сил  и  соответствующие участки изменят свою длину, но сумма этих изменений должна быть равна нулю, так как длина двух стоек должна остаться неизменной

Подставим сюда выражения деформаций участков, предполагая их упругими

                                 

Отсюда получаем второе уравнение  Решая совместно это уравнение с уравнением равновесия, получим =-28.286 кH и =14.143кH.

12. Проверяем равновесие рамы в целом. Для этого убираем опорные связи и их действие заменяем внутренними силовыми факторами в сечениях. Значения этих факторов определяем по эпюрам .

Погрешность  Рама рассчитана верно.

 

 4.2. Матричный алгоритм метода перемещений

Выведем формулу, выражающую алгоритм метода перемещений. Для этого будем использовать матричные соотношения предыдущего параграфа.

Окончательный вектор моментов, если известен вектор перемещений  , получаем по (4.29). При этом стрелки участков с криволинейным очертанием эпюр будем учитывать отдельно.

                                             

Вектор перемещений определяем, решая систему канонических уравнений метода перемещений (4.28). Если подставить (4.28) в (4.29). то получим

                                     .                        (4.30)

Подставляя сюда выражения (4.25) и (4.27), получим окончательно

                                    (4.31)

 

4.2.1. Аналогия матричных алгоритмов метода сил и метода перемещений

Сравним формулы для векторов окончательных эпюр моментов при расчёте по методу перемещениий (4.31) и при расчёте по методу сил (3.16)

                             

Структура обеих формул совершенно одинаковая - она отражает общую логику рассуждений при расчёте статически неопределимых систем:

1. Заданная система разделяется на участки. Начало и конец каждого участка отмечается сечением со своим номером. Для каждого участка назначается правило знаков для ординат эпюр моментов в отмеченных сечениях.

2. Выбирается основная система - для каждого метода своя.

3. Вводятся векторы неизвестных (  - в методе сил,  - в методе перемещений).

4. В основной системе формируется матрица влияния моментов  путём построения единичных эпюр - эпюр моментов от единичных факторов, совпадающих по направлению с неизвестными.                                                   

5. В основной системе строится эпюра от нагрузки  .

6. Только в методе перемещений строится эпюра моментов  от нагрузки в статически определимой системе, полученной из заданной путём отбрасывания лишних связей.

7. Для каждого участка формируется матрица податливости , которые затем образуют матрицу податливости всей системы B.

8. Там, где указан индекс f, в соответствующей матрице учитывается влияние стрелки f.

Далее расчёт проводится совершенно одинаково, используя действия матричной алгебры.

 

4.2.2. Программа SETAPR.EXE для метода перемещений. Пример.

Программа SETAPR поддерживает возможность расчёта статически неопределимых систем не только методом сил, как описано в п. 3.1.3,но и методом перемещений. Совместить два метода в одной программе удалось, используя аналогию, указанную в п. 4.2.1.

Подготовка исходных данных проводится так же, как это указано в п. 3.1.3, но при расчёте по методу перемещений в файле APR2.DAT в режиме EDIT кроме пяти массивов, смысл которых описан в п. 3.1.3, записывается шестой массив - элементы вектора грузовых реакций  в основной системе метода перемещений, которые студент должен определить статическим способом, указанным в п. 4.1.4.

 Таким образом, по существу при расчёте по методу перемещений программа выполняет алгоритм, учитывающий, что вектор  предварительно найден и включён в файл исходных данных,

.                       (4.32)

Следует также отметить, что при программировании формул (3.16) и (4.32) в памяти ПЭВМ не хранится матрица В всей системы, а для каждого участка производится перемножение трёх сомножителей в формуле Мора и затем суммирование по всем участкам системы. Такой приём позволяет избежать засорения оперативной памяти большим числом нулей, находящихся в матрице В.

 

ПРИМЕР № 1.

Проведём расчёт рамы с помощью программы SETAPR.EXE.

В файле APR1.DAT записываем следующую исходную информацию:

name

0 0 0 -1 0.666666 -1.333333 0.666666 -0.333333

-0.333333 0 0 0 -0.666666 0.666666 0.166666 -0.166666 

В файле APR2.DAT в первой строке записываем массив коэффициентов податливостей участков по формуле  и далее, как указано (п. 3.1.3):

0.5 0.5 0.5 1

2 2 2 2

2

33.75

0 0 0 -33.75 0 0 0 0

33.75 90

Запускаем программу, хранящуюся в файле setapr.exe. В процессе работы происходит следующий диалог:

степень статической неопределимости - в ответ вводится 2;

число участков системы - в ответ вводится число 4;

число сечений - в ответ вводится число 8;

число участков с равномерно распределенной нагрузкой - вводится число 1;

число участков с двумя расчетными сечениями - вводится 4;

число участков с одним расчетным сечением - вводится 0;

признак метода расчета (метод сил- 0; метод перемещений - 1) - вводится 1.

После работы программа открывает в каталоге C:\X_Z файл name.res, в который выводятся искомые векторы                ;

                       .