Ферм с двухъярусными шпренгелями

Шпренгельная ферма, в панели которой (со 2-й по 5-ю) введены двухъярусные шпренгели, передающие нагрузку с нижнего грузового пояса на верхний негрузовой пояс. В крайних (в 1-й и 6-й) панелях поставлены одноярусные шпренгели.

Построение линий влияния усилий в элементах первой и третьей категориях рассматриваемой шпренгельной фермы с двухъярусными шпренгелями ничем не отличается от построения линий влияния усилий в соответствующих стержнях фермы с одноярусными шпренгелями.

Рассмотрим построение линий влияния усилий в стержнях второй категории, принадлежащих двухъярусным шпренгелям, и построение линий влияния усилий в элементах четвёртой категории, принадлежащим основной ферме без шпренгелей. К элементам четвёртой категории относятся, как правило, все вертикальные стержни (стойки и подвески) основной фермы.

Построение линии влияния усилия в подвеске V₂ проведено с использованием способа вырезания узлов. Стержень V₂ является элементом четвёртой категории. Рассматривается равновесие узла 3 основной фермы. Если единичный груз Р=1 находится вне узла 3, то усилие V⁰₂ равно нулю. Когда единичный груз Р=1 находится в узле 3, то усилие V⁰₂ равно единице. Учитывая эти обстоятельства, линию влияния усилия в стержне V⁰₂ будем строить в двух случаях: при движении единичного груза Р=1 по верхнему поясу и при движении единичного груза по нижнему поясу фермы.

Когда единичный груз Р=1 перемещается по верхнему поясу фермы, то при любом положении груза на ферме узел 3 будет незагружен, то есть усилие V⁰₂ всегда равно нулю. Это означает, что при движении единичного груза Р=1 по верхнему поясу фермы линия влияния усилия V⁰₂ нулевая.

При движении единичного груза Р=1 по нижнему поясу фермы передача давления от груза на узел 3 будет происходить в случае, когда груз будет перемещаться в пределах панелей 1-3 и 3-5 основной фермы. Величина усилия в стержне V⁰₂ в этом случае будет изменяться от нуля до единицы. При перемещении единичного груза Р=1 за пределами панелей 1-3 и 3-5 усилие V⁰₂ будет равно нулю. Линия влияния усилия V⁰₂ при перемещении единичного груза по нижнему поясу фермы имеет вид треугольника с высотой, равной единице, и основанием, равным сумме длин двух панелей 1-3 и 3-5.

Построение линии влияния усилия V₂ при перемещении груза Р=1 по нижнему поясу заданной шпренгельной фермы осуществляется в ходе следующих рассуждений. В панели 1-3 (левой по отношению к стержню V₂) поставлен одноярусный шпренгель, усиливающий нижний пояс фермы, следовательно, при перемещении груза Р=1 в пределах панели 1-3 передача давления от единичного груза осуществляется на узлы 1 и 3 нижнего пояса и линия влияния усилия V₂ совпадает с линией влияния усилия V⁰₂ при движении единичного груза по нижнему поясу основной фермы. При движении единичного груза от узла 3 до узла 4 происходит постепенная передача давления от него с нижнего пояса на верхний пояс в узлы 3¢ и 5¢ за счёт двухъярусного шпренгеля. Когда груз Р=1 окажется в узле 4, то произойдёт полная передача давления от груза Р=1 на узлы верхнего пояса и усилие V₂ будет равно нулю. При дальнейшем движении единичного груза вправо от узла 4 давление от него на узел 3 передаваться не будет, а, следовательно, в этот момент усилие V₂ равно нулю.      Построение линии влияния усилия в стойке V ₆. Стойка V₆ является стержнем четвёртой категории. Построение линии влияния усилия в ней осуществлено по способу вырезания узлов аналогично ранее рассмотренному построения линии влияния усилия V₂. Рассматривается равновесие вырезанного узла 7¢ верхнего пояса. При движении единичного груза Р=1 по нижнему поясу основной фермы он никогда не может попасть в узел 7¢ и усилие в стойке V⁰₆ на основании признака нулевых стержней всегда равно нулю. Следовательно, линия влияния усилия V⁰₆ при движении груза Р=1 по нижнему поясу основной фермы будет нулевая. При движении груза по верхнему поясу основной фермы в тот момент, когда груз Р=1 будет находиться в пределах панелей 5¢-7¢ и 7¢-9¢, происходит передача давления от единичного груза на узел 7¢. Изменение величины этого давления происходит по линейному закону от нуля до единицы при движении груза от узла 5¢ до узла 7¢ и от единицы до нуля при движении груза от узла 7¢ до узла 9¢. При движении единичного груза за пределами панелей 5¢- 7¢ и 7¢- 9¢ основной фермы давление на узел 7¢ равно нулю. В соответствии с установленным законом изменения давления единичного груза на узел 7¢ определён закон изменения усилия в стержне V⁰₆ из условия равновесия узла 7¢.

Итак, при движении груза Р=1 по верхнему поясу основной фермы линия влияния усилия V⁰₆ имеет вид треугольника с основанием, равным сумме длин панелей 5¢-7¢ и 7¢-9¢, и высотой, равной –1.

Линия влияния усилия в стержне V₆ заданной шпренгельной построена на основании следующих соображений.

При движении единичного груза по нижнему поясу фермы между узлами 1 и 5 и между узлами 9 и 13 ординаты линии влияния усилия V₆ равны нулю, так как в этот момент давление от единичного груза не будет передаваться на узел 7¢ верхнего пояса. При движении единичного груза от узла 5 до узла 6 давление постепенно передаётся двухъярусным шпренгелем с нижнего пояса на узлы 5¢ и 7¢ верхнего пояса фермы. Когда груз Р=1 окажется в узле 6, то нагрузка полностью передастся в узлы 5¢ и 7¢. Линия влияния усилия V₆ в этот момент совпадает с линией влияния усилия V⁰₆ при движении единичного груза по верхнему поясу основной фермы без шпренгелей. При перемещении единичного груза от узла 6 к узлу 7 происходит постепенное возвращение нагрузки с верхнего пояса на нижний грузовой пояс, усилие в стержне V₆ в этот момент будет постепенно уменьшаться по абсолютной величине до нуля и станет равным нулю в момент появления единичного груза в узле 7. Соответствующие изменения усилия V₆ отражены на чертеже линии влияния усилия. Когда груз Р=1 будет перемещаться от узла 7 до узла 8, то происходит вновь передача нагрузки на узлы верхнего негрузового пояса (в узлы 7¢ и 9¢). При дальнейшем перемещении единичного груза от узла 8 к узлу 9 нагрузка постепенно возвращается в узлы нижнего пояса, а линия влияния V₆ вновь совпадёт с линией влияния усилия V⁰₆ при движении груза по верхнему поясу. В конечном итоге линия влияния усилия в стойке V₆ заданной шпренгельной фермы представляет собой два равных треугольника с основанием, равным длине панели, и с высотой, равной –0.5м.

Построение линии влияния усилия в стержне V ₄. Стержень V₄ принадлежит основной ферме, но является элементом четвёртой категории.

Для построения линии влияния усилия V₄ используется разрез I-I в основной ферме с применением способа моментной точки. Моментной точкой для стержня V₄ будет точка К – точка пересечения двух других разрезанных сечением I-I стержней О⁰₂ и U⁰₄ .

При движении единичного груза Р=1 левее разрезанной панели строится левая прямая линии влияния усилия V⁰₄ из условия равновесия правой части рассечённой фермы. Условие равновесия åМ_к = 0 – сумма моментов всех сил относительно точки К равна нулю даёт следующий результат:

8dV⁰₄ - 16dR_B = 0; V⁰₄ = 2.0R_B.

То есть, в этом случае линия влияния усилия V⁰₄ подобна линии влияния опорной реакции R_B c коэффициентом подобия, равным 2.0.

При движении единичного груза Р=1 правее разрезанной панели строится правая прямая линии влияния усилия V⁰₄ из условия равновесия левой части рассечённой фермы. Уравнения равновесия

åМ_к = 0; 8dV₄ + 4dR_A = 0

устанавливает зависимость V₄ = - 0.5R_A.

Эта зависимость позволяет сделать следующий вывод. В случае, когда единичный груз находится правее разрезанной панели линия влияния усилия V⁰₄ подобна линии влияния опорной реакции R_A с коэффициентом подобия, равным –0.5.

Полученные соотношения между усилием V⁰₄ и опорными реакциями фермы R_A и R_B справедливы при перемещении единичного груза Р=1 как по нижнему поясу, так и по верхнему поясу фермы. Однако если при движении по верхнему поясу фермы разрезанной панелью будет панель 3-5, то при движении по нижнему поясу фермы разрезанной панелью является панель 5-7. Это обстоятельство и определяет различие линий влияния усилия V⁰₄ в зависимости от того, по какому поясу фермы осуществляется перемещение подвижного единичного груза.

Построение линии влияния усилия V₄ в рассматриваемом стержне заданной шпренгельной фермы осуществляется на основании следующего анализа.

  При движении единичного груза между узлами 1 и 3, 7 и 13 закон изменения усилия V⁰₄ один и тот же и не зависит от того, по какому поясу движется единичный груз, по нижнему или по верхнему. То есть линии влияния усилия V⁰₄ на этих участках фермы совпадают как при движении нагрузки по нижнему поясу, так и при движении её по верхнему поясу и не зависят от наличия шпренгелей в сложной ферме. Следовательно, линия влияния усилия V₄ в стержне шпренгельной фермы при перемещении единичного груза в панелях, расположенных между указанными узлами фермы, в точности совпадает с линиями влияния усилия V⁰₄ в соответствующем стержне основной фермы.

При движении груза Р=1 от узла 3 к узлу 4 за счёт двухъярусного шпренгеля происходит передача давления от груза с нижнего грузового пояса фермы на верхний негрузовой пояс в узлы 3¢ и 5¢, что отражено отрезком 3-4 на линии влияния усилия V₄. При дальнейшем перемещении единичного груза от узла 4 к узлу 5 подвижная нагрузка постепенно возвращается с верхнего пояса в узлы нижнего пояса (отрезок 4-5 линии влияния усилия V₄). Затем при движении груза от узла 5 к узлу 6 нагрузка вновь передаётся двухъярусным шпренгелем на верхний пояс (отрезок 5-6 линии влияния усилия V₄), а при дальнейшем перемещении груза Р=1 от узла 6 к узлу 7 происходит возвращение нагрузки в узлы нижнего пояса (отрезок 6-7).         

Построение линии влияния усилия в стержне V ₉. Стержень V₉ является элементом второй категории, то есть V^ш₉ = V₉, и принадлежит двухъярусному шпренгелю 9-11-10-10¢. Усилие в стержне V₉ возникает в том случае, когда внешняя нагрузка будет находиться в пределах панелей 9-10 и 10-11 сложной шпренгельной фермы. Построение линии влияния усилия V₉ осуществляется по аналогии с построением линии влияния усилия V₂  по способу вырезания узлов при равновесии узла 10. Линия влияния усилия V₉ в стержне шпренгеля дана на рисунках 4,л и 5,з.

Построение линии влияния усилия в элементе второй категории D ₁₂.

Для построения линии влияния усилия D₁₂ способ вырезания узлов. Здесь возможны два случая построения.

Первый случай. Вырежем узел 10¢ двухъярусного шпренгеля и рассмотрим его равновесие. Из уравнения равновесия (сумма проекций всех сил, действующих в узле, на направление n-n, перпендикулярное направлению стержня D₁₃) находим зависимость усилия D^ш₁₂  от усилия V₉¢: åP_nn = 0; D^ш₁₂ cosn - V₉¢ cosg = 0; D^ш₁₂ = (cosg/cosn)V₉.

Полученное соотношение между усилиями даёт основание сделать вывод, что линия влияния усилия в стержне D^ш₁₂ подобна линии влияния усилия в стержне V₉¢ с коэффициентом подобия, равным cos g/cosn. На основании зависимости (2) эта линия влияния и будет линией влияния усилия в стержне D₁₂ сложной шпренгельной фермы.

Второй случай. Рассматривается равновесие узла 9¢ шпренгеля. Из уравнения равновесия (сумма всех сил на направление, перпендикулярное положению стержня О₅) находится зависимость между усилием D^ш₁₂ и реакцией опорного стержня R_9':

åP_nn = 0; R_9¢ cosa - D^ш₁₂ cos(a + j); D^ш₁₂ = R_9¢ cosa/cos(a + j).

Эта зависимость устанавливает подобие между линиями влияния усилия

D^щ₁₂ и реакцией опорного стержня R_9’. Реакция R_9’ изменяется по линейному закону аналогично закону изменения величины давления, передаваемого на узел 10 от подвижного единичного груза. При нахождении единичного груза за пределами панели 9-11 основной фермы, в которой расположен рассматриваемый шпренгель, реакция опорного стержня R_9’ равна нулю. При перемещении единичного груза Р=1 в пределах панели 9-11 величина опорной реакции R₉¢ изменяется от 0 до 0.5. Значения углов j, n, a и g находятся из соотношений:

tgj = d/(1.25H); g = j + n; tg g = 0.75H/d; tga = 0.25H/d.