Свойства бесконечно малых функций

1. Если функции  и - бесконечно малые функции, то их сумма + - есть функция бесконечно малая функция.

2. Произведение ограниченной при  функции на бесконечно малую, есть функция бесконечно малая.

3. Произведение постоянной на бесконечно малую функцию, есть функция бесконечно малая.

4. Произведение двух бесконечно малых функций, есть функция б/м.

Определение. Функция называется бесконечно большой (б/б), если для любого наперёд заданного сколь угодно малого положительного числа , найдётся такой номер , зависящий от , что для всех  выполняется неравенство .

Свойства бесконечно больших функций

1. Если - бесконечно большая функция, то - функция бесконечно малая.

2. Если - бесконечно малая функция не обращается в нуль, то  - бесконечно большая.

3. Если  и - бесконечно большая функции, то их сумма +  - есть функция бесконечно большая.

4. Если - бесконечно большая  функция и - ограничена, то +  - есть функция бесконечно большая.

5. Произведение двух бесконечно больших функций, есть функция бесконечно большая.

Теоремы о пределах.

Теорема 1. Для того чтобы число А было пределом функции при , необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представима в виде , где - б/м функция.

Теореме 2. Предел постоянной величины равен самой этой постоянной, т.е. .

Теорема 3. Если функции  и имеют пределы при , то при  имеют пределы также их сумма + , произведение  и, при условии , частное , причём .

Теорема 4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

, c=const.

Теорема 5. Если для функции ,  и  в некоторой окрестности точки a выполняется неравенство  и , то .

Следствие. Если функция   имеет предел при , то .

Теоремы о пределах позволяют находить пределы функций, определяемых алгебраическими действиями над переменной, предел которой задан. В простейших случаях достаточно в выражение функции вместо переменной x подставить её предельное значение. Проверим правильность этого способа на примере.

1.3. Способы раскрытия неопределённостей вида и

1. Если непосредственная подстановка в дробную функцию обращает числитель и знаменатель в нуль, то получаем неопределённость вида , это значит, что предельное значение в выражение функции можно подставлять только после предварительного сокращения данной дроби.

Пример.

=  

Для того чтобы сократить данную дробь, разложим числитель и знаменатель дроби на множители по формуле , где  и , это корни уравнения . Получим:

 и .

Тогда исходный предел перепишем в виде:

 =  =  = - 9.

2. Рассмотрим предел дроби, в знаменателе которой содержится иррациональная функция. Если при непосредственной подстановки в такую дробь предельного значения числитель и знаменатель обращаются в ноль, то для того чтобы раскрыть полученную неопределённость вида , нужно числитель и знаменатель данной дроби умножить на выражение сопряжённое знаменателю.

Пример.  = .

Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю (избавляемся от иррациональности в числителе):

= = =

= = = .

В данном примере выражением, сопряжённым знаменателю , является выражение вида .

Замечание: Если делимое при , конечно, а делитель стремится к нулю, то предел частного не существует и в этом случае говорят, что этот предел бесконечен, т.е.

3. Рассмотрим частное двух функций . Если при  или , числитель дроби  и знаменатель дроби , то имеем неопределённость вида .

Пусть в числителе и знаменателе некоторые многочлены. Тогда для раскрытия неопределённости необходимо каждое слагаемое числителя и знаменателя разделить на  в наивысшей степени из числа слагаемых числителя и знаменателя, а затем перейти к пределу.

Пример.

= .

Для того чтобы, раскрыть неопределенность вида  надо под знаком предела числитель и знаменатель дроби разделить на переменную х с наивысшим показателем:

= = [Осталось воспользоваться теоремами о пределах, а также тем, что функции ,  и  - бесконечно малые при х ]= = .