Номера заданий для контрольной работы № 2

ОГЛАВЛЕНИЕ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

РАЗДЕЛ I.		ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Глава 1.		Предел и непрерывность
1.1.	Предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые величины их свойства		5
1.2.	Теоремы о пределах		6
1.3.	Способы раскрытия неопределенности и		7
1.4.	Первый и второй замечательные пределы		8
Примеры решения типовых задач			9
Контрольный тест после изучения раздела I			11

РАЗДЕЛ II					ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава 2.					Производная
2.1.		Задачи приводящие к понятие производной					12
2.2.		Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции					14
2.3.		Основные правила дифференцирования. Таблица производных					15
2.4.		Дифференцирование сложной функции					16
2.5.		Дифференциал функции					17
Примеры решения типовых задач							17
Контрольный тест после изучения раздела II							18
РАЗДЕЛ III						ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 3.				Неопределенный интеграл
3.1.	Первообразная функция и неопределенный интеграл						19
3.2.	Методы интегрирования						20
Примеры решения типовых задач							22
Глава 4.			Определенный интеграл
4.1.	Понятие определенного интеграла и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница						25
4.3.	Геометрическое приложение определенного интеграла						26
Примеры решения типовых задач							27
Глава 5.			Дифференциальные уравнения
5.1.	Основные понятия и определения						28
5.2.	Уравнения с разделяющимися переменными						29
5.3.	Линейные уравнения первого порядка						30
5.4.	Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами						32
Примеры решения типовых задач							34
Контрольный тест после изучения раздела III							36
Задания для контрольной работы № 3							38

Выполнение и оформление контрольных работ

1. Слушатели выполняют контрольную работу в соответствии с учебным планом в сроки, установленные ИДО.

2. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клеточку, ручкой любого цвета, кроме зеленого и красного, аккуратно и разборчивым почерком, чертежи выполняются простым карандашом с использованием инструмента.

3. На титульном листе следует указать фамилию, имя, отчество слушателя, его адрес с указанием почтового индекса, номер зачетной книжки, номер варианта.

4. Задания в контрольных работах выполняются по порядку, согласно расположению их в варианте.

5. На заключительном листе контрольных работ следует указать список литературы, которым Вы пользовались при их выполнении.

6. Если контрольные работы выполнены с нарушением всех вышеперечисленных указаний или не полностью, то они возвращаются слушателю для доработки без проверки.

7. Если работы не зачтены, внимательно изучите все замечания рецензента. Переделайте работы в соответствии с рекомендациями рецензента.

8. Переделанные работы предоставляются на проверку вместе с незачтенными работами.

9. Слушатель выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра.

При этом если предпоследняя цифра учебного шифра – нечетное число (1,3,5,7,9),то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице № 1; если же предпоследняя цифра учебного шифра – четное число или ноль (2,4,6,8,0), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице № 2.

Таблица № 1.

№ варианта

Таблица № 2.

№ варианта

Теоремы о пределах.

Теорема 1. Для того чтобы число А было пределом функции при , необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представима в виде , где - б/м функция.

Теореме 2. Предел постоянной величины равен самой этой постоянной, т.е. .

Теорема 3. Если функции  и имеют пределы при , то при  имеют пределы также их сумма + , произведение  и, при условии , частное , причём .

Теорема 4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

, c=const.

Теорема 5. Если для функции ,  и  в некоторой окрестности точки a выполняется неравенство  и , то .

Следствие. Если функция   имеет предел при , то .

Теоремы о пределах позволяют находить пределы функций, определяемых алгебраическими действиями над переменной, предел которой задан. В простейших случаях достаточно в выражение функции вместо переменной x подставить её предельное значение. Проверим правильность этого способа на примере.

1.3. Способы раскрытия неопределённостей вида и

1. Если непосредственная подстановка в дробную функцию обращает числитель и знаменатель в нуль, то получаем неопределённость вида , это значит, что предельное значение в выражение функции можно подставлять только после предварительного сокращения данной дроби.

Пример.

=  

Для того чтобы сократить данную дробь, разложим числитель и знаменатель дроби на множители по формуле , где  и , это корни уравнения . Получим:

 и .

Тогда исходный предел перепишем в виде:

 =  =  = - 9.

2. Рассмотрим предел дроби, в знаменателе которой содержится иррациональная функция. Если при непосредственной подстановки в такую дробь предельного значения числитель и знаменатель обращаются в ноль, то для того чтобы раскрыть полученную неопределённость вида , нужно числитель и знаменатель данной дроби умножить на выражение сопряжённое знаменателю.

Пример.  = .

Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю (избавляемся от иррациональности в числителе):

= = =

= = = .

В данном примере выражением, сопряжённым знаменателю , является выражение вида .

Замечание: Если делимое при , конечно, а делитель стремится к нулю, то предел частного не существует и в этом случае говорят, что этот предел бесконечен, т.е.

3. Рассмотрим частное двух функций . Если при  или , числитель дроби  и знаменатель дроби , то имеем неопределённость вида .

Пусть в числителе и знаменателе некоторые многочлены. Тогда для раскрытия неопределённости необходимо каждое слагаемое числителя и знаменателя разделить на  в наивысшей степени из числа слагаемых числителя и знаменателя, а затем перейти к пределу.

Пример.

= .

Для того чтобы, раскрыть неопределенность вида  надо под знаком предела числитель и знаменатель дроби разделить на переменную х с наивысшим показателем:

= = [Осталось воспользоваться теоремами о пределах, а также тем, что функции ,  и  - бесконечно малые при х ]= = .

Примеры решения типовых задач

№1. Вычислить пределы следующих функций:

а). ; б). ; в).

г). ;  д). ; е). ; ж). .

а). .

Разложим квадратный трехчлен в числителе на множители по формуле  где x ₁ и x ₂ – корни квадратного уравнения  Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на  получим:

 

б). .

Пределы числителя и знаменателя при   равны нулю. Умножив числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель  и затем сократив дробь на  получим:

.

 

в).  = .

Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х⁴

 

г).  =  

Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х⁴

 =  =  = .

д). = .

Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся формулой первого замечательного предела, получим:

 = .

е).   .

Сделаем замену у = . Тогда  при  и исходный предел сводится ко второму замечательному пределу:

 =  =  = .

ж). .

Очевидно, что  

Тогда:

Глава 2. ПРОИЗВОДНАЯ

Основные правила дифференцирования. Таблица производных

Дифференцирование функции (отыскание производных) непосредственно на основе определения производной оказывается практически неудобной процедурой. Нахождение производных значительно упрощается, если использовать общие правила дифференцирования, к рассмотрению которых мы переходим.

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Производная суммы функций (имеющих производные) равна сумме производных этих функций.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

4. Производная произведения двух функций равняется сумме произведений производной первого множителя на второй и на производной второго множителя на первый. 

5. Производная частного или дроби (при условии, что числитель и знаменатель дроби имеют производные и знаменатель в нуль не обращается) равняется разности произведений производной числителя на её знаменатель и производной знаменателя на числитель, делённой на квадрат знаменателя.

 

 

Таблица производных

Элементарных функций	Сложных функций
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.
12.	12.
13.	13.
14.	14.

Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции  называется главная часть приращения функции, линейная относительно .

Дифференциал функции принято обозначать символом . Таким образом, из определения имеем:

               (7.2)

.

Тогда равенство (1) примет вид

 

т.е. дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента.

Формула для вычисления приближённых значений имеет вид:

Примеры решения типовых задач

№ 1. Найти производные следующих функций:

а) , б) , в) , г) ,

д) , е) .

Решение:

а) Перепишем данную функцию, записав слагаемые в виде степени:

.

.

б) Данная функция  является показательной,  следовательно по формуле

 посчитаем производную:

           

в) Применив формулу , находим:

.

г) Дифференцируя функцию  как сложную, находим производную:

д) В соответствии с формулой  получаем:

.

е) По аналогии с примером в) находим:

.

Таблица основных интегралов

Интеграл		Значение	Интеграл		Значение
1			9
2			10		arcsin  + C
3			11
4		e^x + C	12		ln
5		sinx + C	13		-ln ½ cosx ½ + С
6		-cosx + C	14		ln ½ sinx ½ + C
7		tgx + C	15
8		-ctgx + C	16

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование. Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. 

Пример.

Проверка:

Проверка:

2. Способ подстановки (замены переменных). Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Пример.

Проверка:

 

Проверка:

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Замечание: Если в подынтегральной функции имеется множитель вида , , , , , , то их удобно принимать в качестве , так как они легче дифференцируются.

Если подынтегральная функция имеет вид , , , , , то за  удобно принимать , где  - это некоторый многочлен, причем формулу интегрирования по частям необходимо применять столько раз, какова степень многочлена.

Пример.

Проверка:

 

Проверка:

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Примеры решения типовых задач

№ 1. Найти интеграл следующих функций:

а).     б).   в).   г).

д).  е).   ж).  з).   и).

к).   л).   м).   н).

Решение:

а).

 

б) Воспользуемся подстановкой x= t ². Тогда , получим:

 

в). Если под интегралом содержится логарифмическая функция, то удобно принять ее за новую переменную, если под знаком интеграла присутствует производная этой функции (с точностью до постоянно­го множителя).

 

г).

 

д). За новую переменную удобно взять подкоренное выраже­ние, если под интегралом присутствует также его производная с точ­ностью до постоянного множителя.

 

е).

ж). Новая переменная иногда выбирается из следующих соображе­ний: в знаменателе стоит разность постоянной и квадрата некоторой функции. Эту функцию мы принимаем за новую переменную, если в числителе присутствует ее производная (с точностью до постоянного множителя).

 

 

з). Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.

 

и). За новую переменную иногда выбирают функцию, стоящую в основании степени, если подынтегральное выражение содержит про­изводную этой функции с точностью до постоянного множителя.

к).

л).

 

м).

н).

Чтобы взять последний интеграл, умножим и разделим числитель на 9, затем вчислителе прибавим иотнимем единицу, после чего ра­зобьем интеграл на два табличных:

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке  и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то:

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

При вычислении интегралов ее часто записывают в виде

Пример.

=

Примеры решения типовых задач

№1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Решение:

1. Найдем пределы интегрирования, в качестве  и  возьмем абсциссы точек пересечения данных линий.

 Для их нахождения решим систему уравнений:

 

  ;

                 ;

                     ,

 

2. Определим, какой график расположен выше. Для этого построим заданные линии. Графиком функции  является парабола. Найдем координаты вершины параболы:

, .

Найдем точку пересечения параболы с осями координат:

, ,  и .

, .

Получили две точки пересечения с осью :  и .

Графиком функции  является прямая линия, для построения которой достаточно взять две точки.

Из рисунка видно, что график функции  находится выше графика функции , следовательно, выполняется условие .

Применяя формулу (2), найдем площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

 (кв.ед.)

№2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси  криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми ,  и осью Оу.

Решение: , , . Тогда .

Решение.

; Разделяем переменные .

Интегрируем обе части последнего равенства

.

В результате получим: .

Таким образом, получаем общий интеграл: .

Находим частное решение уравнения. Подставляем начальное условие:

.

Отсюда получаем частный интеграл .

Примеры решения типовых задач

№ 1. Найти общее решение дифференциального уравнения  и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (0)=2.

Решение:

Данное уравнение является линейным, так как содержит искомую функцию и ее производную в первой степени и не содержит их произведений. Применяем подстановку y = uv.

Если y = uv, то . Подставляя y и y ’ в исходное уравнение, получим . Группируем первое и третье слагаемые и выносим v за скобку

(1).