Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Определение. Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен. Производная функции  в точке  обозначается символами: ,  или , .

Итак, по определению

.                                    (7.1)

Производная  является функцией аргумента х, поскольку, если для данного значения аргумента  существует предел отношения (7.1), то только один. При конкретных числовых значениях аргумента  производная – число. В случаях, когда может возникнуть сомнение относительно переменной, по которой взята производная, эта переменная указывается в виде значка внизу: , .

Рассматривая задачу о скорости, мы получили, что , т.е. . Отсюда следует механический смысл производной: скорость  есть производная от пройденного пути  по времени .

Если слово «скорость» понимать в более широком смысле, то можно производную функции  по  считать скоростью изменения переменной  в точке . Поэтому понятие производной находит широкое применение при изучении скорости течения различных процессов (например, скорость охлаждения нагретого тела; скорость осуществления работы – мощность; скорость обесценивания оборудования и т.п.).

Из рассмотренной задачи о касательной следует, что , т.е. . Отсюда следует геометрический смысл производной: производная функции  в точке  равна угловому коэффициенту  касательной в точке  графика функции.

На основании ранее приведённых рассуждений получаем, что уравнение невертикальной касательной к кривой  в её точке  можно записать в виде

.

Пример. Найти производную функции .

В этом случае

, .

Следовательно, .

Основные правила дифференцирования. Таблица производных

Дифференцирование функции (отыскание производных) непосредственно на основе определения производной оказывается практически неудобной процедурой. Нахождение производных значительно упрощается, если использовать общие правила дифференцирования, к рассмотрению которых мы переходим.

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Производная суммы функций (имеющих производные) равна сумме производных этих функций.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

4. Производная произведения двух функций равняется сумме произведений производной первого множителя на второй и на производной второго множителя на первый. 

5. Производная частного или дроби (при условии, что числитель и знаменатель дроби имеют производные и знаменатель в нуль не обращается) равняется разности произведений производной числителя на её знаменатель и производной знаменателя на числитель, делённой на квадрат знаменателя.

 

 

Таблица производных