Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентаминазывается уравнение вида

                                         (12.1)

где  и  - постоянные коэффициенты.

Чтобы найти общее решение уравнения (12.1) надо знать два его частных решения  и .

Будем искать решение уравнения (12.1) в форме , где  - это некоторое действительное число.

Так как , то функция  является решением уравнения (1), если  есть корень уравнения

.                                             (12.2)

Уравнение (12.2) называют характеристическим уравнением исходного уравнения (12.1). Для его составления производные , , и функцию заменим на  в степени, соответствующей порядку производной.

Решение уравнения (12.1) зависит от того, имеет ли соответствующее характеристическое уравнение (12.2) один корень, два корня или не имеет действительных корней.

Рассмотрим три случая:

1) Пусть характеристическое уравнение (12.2) имеет два действительных корня  и , причем .. тогда общее решение уравнения (12.1) имеет вид:

,                                      (12.3)

где  и  - некоторые числа.

2) Если характеристическое уравнение (12.2) имеет один корень  (два совпавших корня), то общее решение уравнения (12.1) имеет вид:

,                            (12.4)

где  и  - некоторые числа.

3) Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней (имеют мнимые корни), то общее решение уравнения (12.1) имеет вид:

,                                  (12.5)

Где - корни характеристического уравнения.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

а). ;     б). ; в)

Решение:

а).

Составим характеристическое уравнение:

;

Тогда, общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид

.

б). .

Составим характеристическое уравнение:

;

       .

Тогда, общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

.

в).         

Составим характеристическое уравнение:

;

- действительных корней нет.

Воспользуемся комплексным числом i, и представим дискриминант равный -36 как 36 i ².

Найдем  и :

Тогда, общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

Таким образом, частное решение будет иметь вид

.

Примеры решения типовых задач

№ 1. Найти общее решение дифференциального уравнения  и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (0)=2.

Решение:

Данное уравнение является линейным, так как содержит искомую функцию и ее производную в первой степени и не содержит их произведений. Применяем подстановку y = uv.

Если y = uv, то . Подставляя y и y ’ в исходное уравнение, получим . Группируем первое и третье слагаемые и выносим v за скобку

(1).

Так как искомая функция y представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, то есть, чтобы имело место равенство  (2).

Тогда уравнение (1) принимает вид:    (3).

Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его

Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0. Подставив в (3) найденное выражение для   u, получим

Интегрируя, имеем .

Теперь можно получить общее решение исходного уравнения .

Определим значение произвольной постоянной С при указанных начальных условиях

.

Таким образом,  есть частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию.

№ 2. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

. , .

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

;

 и .

Тогда, общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид

.

Найдем :

.

Подставим начальные значения в выражения  и , получим систему двух уравнений с двумя неизвестными  и .

.

 

 - частное решение.