Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Задачи, приводящиеся к понятию производной
Переходим к изложению основ дифференциального исчисления. В качестве введения в дифференциальное исчисление рассмотрим задачу о скорости и задачу о касательной. Обе задачи исторически оказались связанными с формированием основного понятия дифференциального исчисления, получившего название производной. Задача о скорости. Материальная точка движется прямолинейно так, что в каждый момент времени t она находится на расстоянии от некоторой выбранной в качестве начальной точки O (говорят, что задан закон движения ). Найти скорость v движения точки в момент . В момент времени пройденное расстояние равно , а в момент времени расстояние равно . Таким образом, за промежуток времени от до точка пройдет путь . Средняя скорость движения материальной точки за указанный промежуток времени равна . Средняя скорость движения зависит не только от выбранного момента времени t 0, но и от длительности рассматриваемого промежутка времени D t. Чем меньше величина D t, тем точнее средняя скорость «характеризует» это движение в момент времени t 0. Поэтому предел средней скорости движения при стремлении D t к нулю называют скоростью движения точки в данный момент времени t 0 (мгновенной скоростью): . Задача о касательной. Пусть имеется кривая и лежащая на ней некоторая точка M. Возьмём на этой кривой любую другую точку N и будем перемещать её по кривой, неограниченно приближая к точке M (то есть, чтобы расстояние между ними стремилось к нулю). При этих условиях секущая MN, вообще говоря, меняет своё положение, вращаясь вокруг точки M (рис. 7.1). Если существует прямая MT, являющаяся предельным положением секущей MN при неограниченном приближении точки N по кривой к точке M, то эта прямая называется касательной к кривой в точке M. Следует иметь в виду, что кривая в её точке M может и не иметь касательной. Рассмотрим некоторую плоскую кривую с уравнением и точку этой кривой (рис. 7.2). Пусть кривая в точке M имеет невертикальную касательную MT. Напишем уравнение этой касательной. Значению аргумента соответствует значение функции и, значит, точка кривой. Здесь – произвольное приращение аргумента, а – приращение функции при .
Пусть теперь D x ® 0, тогда точка N по кривой стремится к точке M, секущая , меняя своё положение, будет стремиться занять положение касательной MT к кривой в точке M. Обозначим через b угол наклона к оси OX секущей MN, а через a – угол наклона касательной к кривой в точке M. Если D x ® 0, то b ® a и, значит, tg b ® tg a. Но , следовательно, .
Уравнение касательной MT – прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом , запишется в виде . Итак, если сопоставить операции, которые осуществлялись при решении рассмотренных задач, то легко заметить, что в обоих случаях по существу делалось одно и то же: приращение функции делилось на приращение независимой переменной и затем вычислялся предел их отношения. Таким путём приходим к основному понятию дифференциального исчисления –– к понятию производной. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х. Дадим аргументу приращение (при этом предполагается, что точка принадлежит области определения функции). Тогда функция получит приращение .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-20; просмотров: 206; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.221.43.88 (0.017 с.) |