Универсальный метод моделирования непрерывных случайных векторов

Если X= (X₁,..., X_n) - непрерывный случайный вектор, то его плотность можно представить в виде произведения условных плотностей распределения вероятностей этих величин:

 

f _X (x₁,..., x_n) = f₁(x₁)f₂(x₂|x₁)f_3(x₃|x₁,x₂)... f_n(x_n|x₁,..., x_n-1 )

Все условные плотности распределения в правой части этого равенства выражаются через совместную плотность f _X(x ₁,..., x_n). Приведем эти выражения:

 

,

 

 

 

....

 

 

 

Введем условные функции распределения

 

 

Тогда будет справедливо следующее утверждение, которое мы приводим без

доказательства.

Утверждение 1. Пусть U₁,..., U_n - независимые одинаково распределенные по закону R_(0,1) случайные величины. Тогда случайный вектор
X = (X₁,..., X_n), координаты которого получаются при последовательном решении уравнений

(7)

 

имеет плотность распределения вероятностей f _X(x ₁,..., x _n).

Замечание 1. Уравнения (7) имеют единственные решения, если эти решения находятся по формулам (3).

Представление плотности f _X(x ₁,..., x _n) в форме произведения условных плотностей координат вектора X возможно n! способами. В частности, при n=2

 

f _X (x ₁, x ₂) = f ₁(x ₁) f ₂(x ₂| x ₁) = f ₂(x ₂) f ₁(x ₁ | x ₂).

 

Разным произведениям соответствуют разные порядки "разыгрывания" с.в. X ₁, X ₂,..., X _n и, вообще говоря, разные уравнения (7). Приводимый ниже пример показывает, что иногда удачный выбор порядка позволяет упростить эти уравнения.

Если X ₁,..., X _n независимы, то все их условные распределения равны безусловным:

 

F _k(x _k | x ₁,..., x _k-1) = F _k(x _k), k = 1,2,..., n,

 

и порядок разыгрывания величин не играет роли. Уравнения (7) превращаются в уравнения

 

F _k(X _k) = U _k, k = 1,2,..., n

 

и приводят к решению (2).

Пример 1. Рассмотрим случайную точку (X,Y), которая принимает значения в треугольнике x + y < 1, x > 0, y > 0 с плотностью f (x, y) = 6 x.

а) Выберем в качестве первой величины X. Тогда

 

при 0 < x < 1;

 

при 0 < y < 1 - x.

 

Соответствующие этим плотностям функции распределения будут:

 

F_X (x) = 3 x ² - 2 x ³ при 0 < x < 1,

 

при 0 < y < 1 - x.

 

Из формул (7) получаем уравнения для последовательного моделирования X и Y:

 

3 X ² - 2 X ³ = U ₁, Y = U ₂ (1 - X).

 

б) Выберем теперь в качестве первой величины Y. Тогда

при 0 < y < 1,

 

при 0 < x < 1 - y.

 

Соответствующие функции распределения будут:

 

F _Y(y) = 1- (1 - y)³ при 0 < y < 1,

 

при 0 < x < 1 - y.

 

Согласно (7), используя 1 - U ₁ вместо U ₁, получим уравнения для последовательного моделирования Y и X:

 

(1 - Y)³ = U ₁, X ²= U ₂(1 - Y)².

 

Сравним оба алгоритма для моделирования X и Y в первом из них для нахождения X необходимо решать кубические уравнения, в то время как во втором можно использовать явные формулы

 

, .

 

Замечание 2. Часто вместо представления f (x,y) = f ₁(x) f ₂(y | x) пишут аналогичное по форме представление F (x,y) = F_X (x) F_Y (y | x), которое на самом деле неверно. Так в рассмотренном примере в треугольнике F (x,y) = 3 x ² y, а

 

, .

 

Из утверждения 1 следует, что моделирование случайного вектора может быть сведено к последовательному моделированию его координат. Для этого достаточно применить "универсальный" метод, разрешая последовательно уравнения (7) и помня при этом, что при необходимости (отсутствие единственного решения) следует пользоваться формулой (3). Таким образом, мы получаем метод моделирования непрерывного случайного вектора, который, как и в случае скалярной с.в., называют " универсальным " или стандартным.

Практическое использование универсального метода моделирования случайного вектора часто связано с весьма громоздкими вычислениями, и в некоторых случаях для моделирования с.в. X _k с условной плотностью
f _k(x | x ₁,..., x _k-1) целесообразно применить один из методов, приведенных в предыдущей главе.

3. Метод преобразований

В предыдущей главе при рассмотрении моделирования гауссовых с.в. было доказано важное общее Утверждение 2. о взаимно однозначном дифференцируемом преобразовании случайных векторов. Такое преобразование можно интерпретировать как переход к новым координатам, а упомянутое Утверждение 2. дает правило преобразования плотности при преобразовании координат. Во многих случаях таким путем удается упростить формулы моделирования случайных векторов.

3.1. Равномерное распределение в шаре . Обозначим через X, Y, Z декартовы координаты точки P. Их совместная плотность распределения в шаре постоянна:

 

 

Однако плотности распределения каждой из координат достаточно громоздки.

Поэтому перейдем к сферическим координатам:

 

, ,

 

В новых координатах шар переходит в параллелепипед , , . Так как якобиан преобразования будет

 

,

 

то в новых координатах плотность распределения случайного вектора (R, Q, F) (или точки P) имеет вид

 

,

 

и, следовательно, сферические координаты точки P независимы. Уравнения для их моделирования можно записать так:

 

, , .

 

Отсюда (см. формулы (2)) получаем формулы

 

, , (8)

по которым легко находятся и декартовы координаты точки P:

 

 

 

 

3.2. Выбор случайного направления в пространстве. Говоря о "случайном" направлении подразумевают выбор случайного направления в условиях, когда все направления в трехмерном пространстве равновозможны. Направление условимся характеризовать единичным вектором
X = (X₁, X₂, X₃), где .

Выбор случайного направления можно трактовать как равномерное распределение конца единичного радиуса-вектора на поверхности сферы единичного радиуса. Таким образом, нас интересует единичный вектор X такой, что для любого телесного угла с вершиной в начале координат

 

,

 

где обозначает величину телесного угла . (Напомним, что величина телесного угла определяется как отношение площади части сферы с центром, совпадающим с вершиной телесного угла, вырезаемой образующей этого телесного угла, к квадрату радиуса сферы).

Легко видеть, что если P - случайная точка, равномерно распределенная в шаре , то направление ее радиуса-вектора обладает нужным нам свойством. Действительно, если ₁ и ₂ - два равных по величине телесных угла, то объемы соответствующих им шаровых секторов

равны, и вероятности того, что точка P попадет в каждый из них, одинаковы. Поэтому из (8) получаем формулы для выбора "случайного" направления:

 

, .

 

Используя формулы, связывающие декартовы координаты со сферическими, получаем алгоритм моделирования вектора X = (X₁, X₂, X₃):

 

, X ₃ = 2 U₁ - 1