Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Самарский государственный аэрокосмическийСтр 1 из 7Следующая ⇒
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени акад. С.П.КОРОЛЕВА А.Ф.Тараскин СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ и МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО Учебное пособие САМАРА 1997 УДК 519.6 Статистическое моделирование и метод Монте-Карло: Учебное пособие/ А.Ф.Тараскин; Самар.гос.аэрокосм.ун-т. Самара, 1997. 62 с. ISBN 5-7883-0007-X
Изложены методы моделирования случайных величин, векторов и процессов. Предназначено для студентов специальности "Прикладная математика" при выполнении курсовых и расчетно-графических работ по курсам "Теория вероятностей и математическая статистика" и "Случайные процессы". Подготовлено на кафедре "Техническая кибернетика".
Библиогр.: 10 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П.Королева
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. А.И.Жданов канд. физ.-мат. наук, доц. С.Я.Шатских
ISBN 5-7883-0007-X ÓТараскин А.Ф., 1997 ÓСамарский государственный аэрокосмический университет, 1997
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ...................................................................................... 4 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН..................... 6
1. Моделирование дискретных случайных величин................ 6
2. Моделирование непрерывных случайных величин............ 10
2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ................. 32
1. Моделирование вектора с независимыми координатами... 32
2. Универсальный метод моделирования непрерывных случайных векторов....................................... 34
3. Метод преобразований......................................................... 37
4. Моделирование гауссова вектора......................................... 39
5. Моделирование дискретных случайных векторов............... 40
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ............. 41
1. Общие замечания................................................................... 41
2. Квазислучайные процессы.................................................... 42
3. Приближенное моделирование случайного процесса......... 44
4. Процессы с независимыми значениями................................ 46
5. Процессы с независимыми приращениями.......................... 47
6. Марковские процессы........................................................... 49
7. Стационарные процессы....................................................... 54
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................................................. 61
ВВЕДЕНИЕ
Метод статистического моделирования, известный в литературе также под названием метода Монте-Карло, дает возможность конструировать для ряда важных задач алгоритмы, хорошо приспособленные к реализации на компьютерах. Возникновение метода Монте-Карло связывают обычно с именами Дж.Неймана, С.Улама, Н.Метрополиса, а также Г.Кана и Э.Ферми; все они в 40-х годах работали в Лос-Аламосе (США) над созданием первой атомной бомбы. Название "Монте-Карло" произошло от города Монте-Карло (княжество Монако), известного своими казино, ибо одним из простейших приборов для генерирования случайных чисел служит рулетка. Хотя общепринятого определения методов Монте-Карло не существует, тем не менее под этим названием подразумевают численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и процессов. Основная идея метода -- связь между вероятностными характеристиками различных случайных процессов (вероятностями случайных событий или математическими ожиданиями случайных величин) и величинами, являющимися решениями задач математического анализа (значениями интегралов, решениями дифференциальных уравнений и т.п.). Оказывается, что вместо вычисления ряда сложных аналитических выражений можно "экспериментально" определить значения соответствующих вероятностей и математических ожиданий. Этот метод получил широкое развитие в связи с новыми возможностями, которые дают быстродействующие электронные вычислительные машины. Продемонстрируем суть метода на простейшей задаче. Пусть требуется приближенно определить математическое ожидание M X с.в. X. Пусть x1, x2,..., xn -- значения величины X, полученные при n независимых испытаниях (измерениях) с.в. X. Тогда величина
, (1)
где Xk, k = 1,..., n -- независимые с.в. с общим распределением, совпадающим с распределением с.в. X, в соответствии с центральной предельной теоремой распределена по закону, близкому к гауссовому с параметрами
Поэтому имеет место оценка (с надежностью 0,997)
. (2)
Таким образом, в этом случае "время" связано обратной зависимостью с достигаемой точностью e
. (3)
Необходимо отметить одну особенность метода Монте-Карло, состоящую в том, что оценка погрешности вычислений имеет вероятностный характер. При этом методе нельзя утверждать, что ошибка не превысит какого-либо значения. Можно только указать границы, за которые ошибка не выйдет с вероятностью, близкой к единице. В частности, в оценке (2) эта вероятность равнялась 0,997. В соответствии с основной идеей метода Монте-Карло для приближенного вычисления величины a необходимо "придумать" такую с.в. X, чтобы M X = a. При этом сама величина X может быть функцией какой-то скалярной или векторной случайной величины, или даже функционалом от случайного процесса. Поэтому первоочередной задачей при использовании метода Монте-Карло является задача моделирования случайных величин или случайных процессов. Эта задача и рассматривается в настоящем пособии. Оно состоит из трех глав. Распределение материала по главам таково. В первой главе даются некоторые "прямые" и "специальные" методы моделирования случайных величин. Приводятся алгоритмы моделирования большого числа часто встречающихся в различных исследованиях дискретных и непрерывных с.в. Поскольку часть рассматриваемых с.в. студентам может встретиться впервые, в пособии приводятся попутно некоторые сведения о них. Во второй главе излагаются способы моделирования случайных векторов. Рассматривается моделирование вектора с независимыми координатами. В частности, приводятся равномерное распределение в параллелепипеде и гауссово распределение с независимыми координатами. Приводятся два общих метода моделирования векторов: так называемый универсальный метод и метод преобразований. С помощью последнего рассмотрено моделирование произвольного невырожденного гауссова вектора. Третья глава посвящена моделированию некоторых случайных процессов. В их числе квазислучайные процессы, процессы с независимыми значениями и независимыми приращениями. К последним относятся, в частности, винеровский процесс и процессы Пуассона. Рассмотрено моделирование основных классов марковских процессов, включая цепи Маркова, марковские процессы с непрерывным временем и дискретным фазовым пространством, а также диффузионные марковские процессы. Изложены методы моделирования стационарных процессов, среди которых подробно рассмотрены стационарные процессы с непрерывным временем, имеющие дробно-рациональную спектральную плотность, и стационарные случайные последовательности авторегрессии и скользящего среднего. Представлен также общий подход к приближенному моделированию процессов, основанный на их ортогональном разложении.
Общие замечания
Моделирование случайного процесса (с.п.) { Xt, t Î T } означает построения алгоритма, позволяющего получать его реализации { x t, t Î T }. В связи с приближенными вычислениями по методу Монте-Карло на ЭВМ могут быть использованы лишь реализации с.п. для некоторой последовательности значений аргумента, например, t 1,..., t n Î T.
Если случайный процесс изучается в рамках определения "в широком смысле", то это предполагает возможность задания его конечномерных распределений: для любого n ³ 1, любых t 1,..., t n Î T известна функция распределения F t_1...t_n(x 1,..., x n) вектора значений процесса . Задача формирования реализаций с.п. в этом случае ничем не отличается от задачи получения возможных значений n-мерного случайного вектора, рассмотренной в главе 2. Следует отметить два препятствия на пути осуществления намеченного выше подхода к моделированию с.п. Первое состоит в том, что далеко не всегда бывают заданы любые конечномерные распределения с.п. Второе $-$ в том, что даже если любые конечномерные распределения заданы, для больших n формирование реализаций случайного вектора становится громоздким и неудобным для использования на электронных цифровых вычислительных машинах. Эти обстоятельства заставляют использовать для моделирования либо специфические свойства процессов, относящихся к тем или иным классам случайных процессов, либо возможность представления данного процесса через более простые случайные элементы.
Квазислучайные процессы
Случайный процесс { Xt, t Î T } называется квазислучайным (иногда квазидетерминированным), если он представляется совокупностью функций времени заданного вида: Xt = S (t, Y), где Y = (Y 1,..., Y m) - векторный случайный параметр с множеством возможных значений? Ì R m. Каждой точке
xt = S (t; y), t Î T. (1)
Простейшим примером квазислучайного процесса является гармонический процесс со случайными амплитудой a, частотой w и фазой j:
Xt = S (t; a, w, j) = a cos (wt + j), (2)
причем векторный параметр Y = (a, w, j) принимает значения в области? трехмерного евклидова пространства, определяемой неравенствами: a > 0, В общем случае моделирование квазислучайного процесса сводится к
моделированию определяющего его случайного вектора Y. Получив одним из описанных в предыдущей главе методов значение этого вектора 2.1. Колебательные процессы со случайными параметрами. Во многих вопросах с.п. аппроксимируются суммой гармонических процессов с заданными частотами и случайными амплитудами и фазами. Иными словами, рассматриваются процессы вида
, , (3)
где wk - заданные числа, а величины ak и jk случайны. Теоретико-вероят- ностная структура этого процесса (как процесса в широком смысле) полностью определяется совместным распределением случайных величин Иногда целесообразно рассматривать комплекснозначные с.п. колебательного характера
, (4)
где комплексные амплитуды gk являются случайными величинами:
gk = ak + i b k,
где ak, bk, k = 1,..., m - вещественные случайные величины. Ясно, что процесс Zt можно "расщепить" на вещественную и мнимую части, которые представляют собой колебательные процессы вида (3). Таким образом, колебательные процессы вида (3) или (4) представляют собой квазислучайные процессы, вполне определяемые 2 m -мерным случайным параметром. Их моделирование, как отмечено выше, сводится к моделированию случайного вектора (a 1,..., am, j 1,..., jm) в случае вещественного процесса (3) и вектора $(a 1,..., am, b 1,..., bm,) в случае комплексного процесса (4). Напомним, что колебательный процесс (4) является стационарным в широком смысле, если случайные амплитуды gk, k = 1,..., m обладают моментами до второго порядка включительно, причем M gk = 0, M = 0 для всех k, j = 1,..., m, k ¹ j. 2.2. Линейная модель квазислучайного процесса. Еще один пример квазислучайного процесса дает так называемая линейная модель , t Î T (5)
где Y = (Y 1,..., Y m) - векторный случайный параметр, линейно входящий в правую часть (5), yk (t), k = 1,..., m - заданные функции. В ряде случаев изучаемый с.п. целесообразно аппроксимировать линейной моделью (5). Линейная модель может представлять собой частную сумму ряда в разложении некоторого случайного процесса. Для моделирования процесса (5) достаточно смоделировать случайный векторный параметр Y.
Марковские процессы
6.1. Общие марковские процессы. Рассмотрим случайный процесс { X t, t Î T } со значениями в измеримом "фазовом" пространстве (E, e). Его называют марковским, если при любом фиксированном X s = x значения процесса X t, t > s не зависят от X u, u < s. Условную вероятность события { X t Î A Ì E} при условии X s = x называют переходной функцией (вероятностью) марковского процесса и обозначают P (s, x, t, A). Переходная функция для любых s < u < t удовлетворяет уравнению
(24)
называемому уравнением Чепмена-Колмогорова. Оно выражает важное свойство марковского процесса — отсутствие последействия: если известно состояние системы в некоторый момент времени u, то вероятности перехода из этого состояния не зависят от движения системы в моменты времени, предшествующие u. Если существует минимальный элемент t 0 множества T, то вероятности P 0(A) = P { Î A } для всех A Î e образуют так называемое начальное распределение процесса { X t, t Î T }. Начальное распределение и переходная функция марковского процесса вполне определяют его как процесс в широком смысле. Это значит, что при заданных начальном распределении и переходной функции марковского процесса, как отмечено в начале этой главы, есть принципиальная возможность его моделирования.
Если существует неотрицательная функция p (s, x, t, y) такая, что
для всех s, x, A s < t, то ее называют переходной плотностью марковского процесса. Марковский процесс называется однородным, если его переходная вероятность зависит не от двух временных аргументов s и t, а только от их разности t - s:
(25)
Мы рассмотрим далее моделирование некоторых подклассов марковских процессов. 6.2. Цепи Маркова. Марковский процесс { X t, t Î T }, у которого дискретно как временное множество T, так и фазовое пространство E, называют цепью Маркова. В этом случае без потери общности можно считать, что
P (m, i, n, k) = pik (m, n). (26)
Определенная таким образом величина pik (m, n) называется переходной вероятностью цепи Маркова и представляет собой условную вероятность оказаться в k -том состоянии на n -м шаге при условии, что на m -том шаге (m < n) она находилась в состоянии i. Уравнение Чепмена-Колмогорова для переходной вероятности будет иметь вид
(27)
для любых m < r < n и i, k Î E. Если наряду с переходной вероятностью (26) задано также начальное распределение
p k = P { X 0 = k }, k = 0, 1,..., (28)
то будут определены и конечномерные распределения цепи Маркова: для любых n шагов с номерами m 1 < m 2 <... < m n и любых состояний ir Î E, имеем
(29) Моделирование значений , ,..., цепи Маркова сводится, таким образом, к моделированию случайного вектора с заданным законом распределения вероятностей: следует сначала смоделировать с.в. в соответствии с безусловным распределением
, k = 0, 1,..., (30)
а последующие значения , 1 < r £ n, цепи - в соответствии с переходными (условными) вероятностями . Моделирование цепи Маркова в частных случаях может упрощаться. Так для конечной цепи Маркова, у которой E = {0, 1,..., N}, суммы в правых частях формул (27) и (30) будут конечными. Соответственно, более простой будет и процедура моделирования, поскольку будут конечными как совокупности вероятностей начальных состояний, так и совокупности переходных вероятностей. Другое упрощение следует из однородности цепи Маркова, что выражается равенством pik (m, m + n) = pik (n) для любых m ³ 0, n ³ 1. Пользуясь уравнением Чепмена-Колмогорова, легко показать, что переходные вероятности однородной цепи Маркова за n шагов вполне определяются ее переходными вероятностями pik (1) = pik, i, k Î E за один шаг. Если - матрица переходных вероятностей за n шагов, а P = - матрица переходных вероятностей за один шаг, то легко убедиться, что P (n) = P n, где в правой части стоит n -я степень матрицы P. Это значит, что однородная цепь Маркова как процесс в широком смысле вполне задается начальным распределением и переходными вероятностями за один шаг. Отсюда вытекает алгоритм моделирования последовательных значений цепи Маркова: X 0, X 1, X 2,.... Для получения значения с.в. X 0 моделируем дискретное распределение Разумеется, моделирование будет еще проще, когда однородная цепь Маркова является конечной. 6.3. Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным фазовым пространством. Рассмотрим марковский процесс { Xt, t Î T }, у которого пространство состояний E = {0, 1,...} - конечно или счетно, а
P (s, i, s + t, k) = p ik (t) (31)
для любых i, k Î E и s ³ 0, t ³ 0. Будем также предполагать, что с вероятностью 1 реализации x t(w) рассматриваемого процесса непрерывны справа в каждой точке t ³ 0. Состояние i будем называть поглощающим, если p ii(t) = 1 для всех t > 0. Остальные состояния будем называть непоглощающими. Пусть t - момент первого выхода из начального состояния. Утверждение 1. Если начальное состояние X 0 = i является непоглощающим, t - момент выхода из начального состояния, то при некотором P i {t > t } = exp{-lit}, (32) где P i обозначает условную вероятность при условии X0 = i; при этом величины t и Xt независимы. Доказательство этого утверждения можно найти в [7]. Замечание 1. Для поглощающих состояний j будем считать l j = 0. Так как в этом случае для любого t P j {t > t } = 1, то формула (32) остается справедливой. Обозначим
P i {Xt = j } = p i (33)
и рассмотрим величины: t1 - момент выхода из начального состояния, , t2 - время, которое процесс пробудет в состоянии , q2 = t1 + t2, ,.... Если , tn-1, qn-1 определены, то t n - время, которое процесс находится в состоянии с момента qn-1 до выхода из этого состояния, Утверждение 2. Величины , ,... образуют однородную цепь Маркова, для которой вероятности перехода за один шаг даются равенством (33); условное распределение t1,...,tn при условии, что заданы совпадает с распределением n независимых показательно-распределенных с.в. с параметрами . Утверждение 2 позволяет описать поведение рассматриваемых марковских процессов. Имеется цепь Маркова , n = 0, 1,..., называемая вложенной цепью Маркова, с вероятностями перехода за один шаг pij. Последовательные состояния этой цепи определяют последовательные состояния процесса с непрерывным временем. Время пребывания процесса Xt в состоянии является показательно-распределенной величиной (при условии, что задано = ) с параметром и не зависит от времени пребывания в предыдущих состояниях. Таким образом, зная вложенную цепь Маркова, можно построить процесс Маркова с непрерывным временем до момента
Процесс называется регулярным, если для всех i Î E
Таким образом, моделирование однородного марковского процесса с непрерывным временем и дискретным фазовым пространством сводится к моделированию вложенной однородной цепи Маркова, рассмотренному в предыдущем пункте настоящего параграфа, и моделированию последовательности независимых показательно-распределенных с.в. 6.4. Диффузионные марковские процессы. Так называется класс непрерывных марковских процессов, которые могут служить математической моделью явления диффузии - перемещения частицы под воздействием молекул среды, находящихся в хаотическом тепловом движении. Формально диффузионный марковский процесс можно определить через его переходную функцию. Пусть E - конечномерное евклидово пространство - фазовое пространство процесса X = { Xt, t ³ 0}; P (s, x, t, A) - его переходная функция. Прежде всего будем предполагать, что процесс X с вероятностью 1 имеет реализации без разрывов второго рода. Теперь сформулируем условия диффузионности: для x Î E, t ³ 0, e > 0 1) где V e(x) - шар радиуса e; 2) , где a(t, x) - измеримая функция на [0,¥)´ E со значениями в E; 3) для всех z Î E
, где (·,·) - скалярное произведение в E, B (t, x) - измеримая симметричная неотрицательно определенная матричная функция на [0,¥) ´ E, действующая из E в E. Функции a (t, x) и B (t,x) называются диффузионными коэффициентами процесса: a (t,x) - вектором (коэффициентом) переноса, B(t,x) - оператором (коэффициентом) диффузии. Условие 1) вместе с отсутствием разрывов 2-го рода является условием непрерывности процесса. Условие 2) указывает на наличие движения среды, в которой находится частица: частица из точки x в момент t за время h в среднем смещается на a (t,x) h. Условие 3) показывает, что матрица B (t,x) характеризует величину среднего квадратического отклонения частицы от ее положения x в момент t. Если среда изотропна (ее свойства одинаковы по всем направлениям), то B (t,x) = b 2(t,x) I, где b 2(t,x) - числовая функция, называемая коэффициентом диффузии, I - единичная матрица. Далее для простоты будем рассматривать процессы в одномерном фазовом пространстве E = R1. Широкий класс диффузионных процессов с непрерывными коэффициентами образуют решения стохастических дифференциальных уравнений
dX t = a (t,Xt) dt + b (t, Xt) dw t, (34)
или, в интегральной форме,
. (35)
Второй интеграл в правой части последнего уравнения, называемый стохастическим интегралом по винеровсому процессу { w t, t ³ 0} просто определяется в случае непрерывной зависимости подынтегрального процесса от s. Пусть непрерывный с вероятностью 1 случайный процесс { Yt, t ³ 0} согласован с винеровским процессом в следующем смысле: приращения wt - ws при t > s не зависят от совокупности случайных величин Yu, w u, u £ s. Тогда существует предел в смысле сходимости по вероятности интегральных сумм
, 0 = s 0 <... < sn = t
при который называется стохастическим интегралом и обозначается символом
.
Решением уравнения (35) с непрерывными по совокупности переменных коэффициентами a (t,x) и b (t,x) называется согласованный с винеровским процессом процесс { Xt, t ³ 0} с непрерывными траекториями, такой, что равенство (35) справедливо для всех t > 0 с вероятностью 1. Подробнее о стохастических интегралах и стохастических дифференциальных уравнениях см. [2].
Решения стохастических дифференциальных уравнений моделируются путем перехода к разностной схеме. Так, если процесс { Xt, t ³ 0} определяется уравнением (34), то простейшая разностная схема имеет вид
, где k = 1, 2,... 0 = t 0 < t 1 <... < tk -1 < tk <.... Замечание 2. Попытки формального применения метода Рунге-Кутта с целью повышения точности моделирования решения стохастического дифференциального уравнения оказываются несостоятельными, поскольку винеровский процесс не обладает никакими производными.
Стационарные процессы
7.1. Общий подход к моделированию стационарных процессов. Мы рассматриваем здесь комплекснозначные процессы X = { Xt, t Î T }, у которых параметрическое множество T либо совокупность целых чисел {0, ±1, ±2,...} (случай дискретного времени), либо множество всех действительных чисел
, (36)
то X называется стационарным в широком смысле. Употребляемый в дальнейшем без оговорок термин "стационарный" подразумевает стационарность в широком смысле. В рамках теории гильбертовых случайных процессов основными характеристиками стационарного процесса являются моментные функции первого и второго порядков, а именно среднее значение M Xt º m и корреляционная функция процесса. Для простоты (и без потери общности) в дальнейшем считаем, что m = 0. Центральным результатом теории стационарных процессов является теорема А. Я. Хинчина о спектральном представлении процесса и его корреляционной функции. Теорема 2. Каждый стационарный процесс X допускает спектральное представление (37) в виде стохастического интеграла по комплекснозначному процессу с ортогональными приращениями Z. При этом корреляционная функция R(t) процесса X допускает представление , t Î T (38) в виде интеграла Стилтьеса по неубывающей непрерывной слева функции ограниченной вариации F(w). Интегрирование в (37) и (38) производится в пределах -p £ w £ p в случае дискретного времени t, и в пределах -¥ < w < ¥ - в случае непрерывного t. Замечание 1. Функция F (w) в представлении (38) называется спектральной функцией процесса X. Она однозначно может быть восстановлена по корреляционной функции R (t). Особенно просто это делается в случае, когда F (w) абсолютно непрерывна. Тогда ее производная f (w) = dF (w)/dw называется спектральной плотностью процесса. В этом случае "формулы обращения" имеют вид
, w Î [-p,p] (39) в случае дискретного времени и
, w Î (-¥,¥) (40)
в случае непрерывного времени. Замечание 2. Спектральная функция F (w) стационарного процесса X служит структурной функцией процесса с ортогональными приращениями Z, участвующего в представлении (37) процесса X:
(41)
для любых точек w1 < w2 спектра процесса X. Спектральное представление (37) стационарного процесса через процесс более простой структуры (процесс с ортогональными приращениями) можно положить в основу приближенного моделирования процесса X. Для этого разобьем интервал, в котором 0 < F (w) < F(+¥), на интервалы Dk и возьмем в Dk произвольную точку w k. Тогда, если Fk - приращение F (w) на интервале Dk, то можно записать:
и, следовательно
, (42)
где { Zk } - ортогональные приращения процесса Z на интервалах { Dk }. Таким образом, формула (42) указывает алгоритм моделирования значений процесса X. Для работы этого алгоритма необходимо уметь моделировать процесс с ортогональными приращениями Z со структурной функцией F (w). Моделирование приращений Zk в формуле (42) возможно, в частности, когда Z является центрированным процессом с независимыми приращениями с заданным семейством двумерных распределений. Изложенный выше общий подход к моделированию стационарных процессов далеко не всегда удается реализовать на практике. Поэтому ниже мы рассмотрим частные случаи стационарных процессов, для которых задача моделирования решается в силу специфической структуры этих процессов. 7.2. Моделирование процесса с дробно-рациональной спектральной плотностью. Будем рассматривать одномерный стационарный гауссов процесс Xt с непрерывным временем, обладающий спектральной плотностью вида
(43)
где P (z) и Q(z) - многочлены от z с действительными коэффициентами:
, , a 0 = 1,
причем m < n и нули Q(z) лежат в левой полуплоскости. Представление f (w) в виде (43) означает, что процесс Xt можно получить в виде линейной комбинации процесса Yt и m - 1 его производных:
, (44)
где Yt является решением линейного стохастического дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
, (45)
где w t, t ³ 0 - винеровский процесс. Если ввести вектор (столбец)
d V t = AV t dt + d W t, (46)
где
,
Заметим, что стационарное решение уравнения (45) имеет спектральную плотность
. (47)
|
||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-30; просмотров: 122; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.223.123 (0.218 с.) |