Моделирование дискретных случайных величин

 

1.1. Универсальный метод моделирования дискретных случайных величин. Начнем с изложения общего подхода к моделированию дискретных случайных величин. Пусть X -- дискретная с.в. с множеством возможных значений c = { x_i, i Î I }, где I = {0, 1, 2,...} -- конечное или счетное множество индексов, и вероятностями p_i, i Î I, ее возможных значений:

 

p_i =P(X = x_i). (5)

Совокупность вероятностей P = { p_i, i Î I } удовлетворяет условиям

 

p_i > 0 для всех i Î I.

 

и

 

Если U - с.в. с равномерным распределением R _[0,1], то

 

(6)

 

где p_i определено равенством (5). Сравнивая равенства (5) и (6), получаем алгоритм моделирования с.в. X: если величина U принимает значение

 

 

то величина X полагается равной x_i.

Перейдем к рассмотрению конкретных, и в то же время наиболее важных в теории и приложениях, дискретных случайных величин.

1.2. Схема независимых испытаний Бернулли, как известно, играет важнейшую роль в теории вероятностей. С другой стороны, она служит основой для моделирования целого ряда тесно связанных с ней с.в. Для моделирования последовательности испытаний Бернулли X₁, X₂,..., где L (X_k) = B_i (1,p): P(X_k = 1) = 1-P(X_k = 0) = p при заданном p Î (0,1), достаточно, очевидно, положить X_k = I (U_k £ p), k = 1, 2,..., где I (A) – индикатор случайного события A (I (A)=1, если A наступает, и 0 в противном случае). Событие A по традиции будем называть успехом.

1.3. Биномиальная с.в.. Чтобы смоделировать выборку для биномиальной с.в. X с параметрами (N,p) (т.е. L (X) = B_i (N,p)), достаточно воспользоваться свойством воспроизводимости распределения B_i (N,p) по параметру N:

 

X = X₁ + X₂ +... + X_N,

 

где L (X_k) = B_i (1, p), k = 1, 2,..., N, и применить алгоритм схемы Бернулли.

1.4. Отрицательная биномиальная с.в. Отрицательная биномиальная с.в. X определяется через схему Бернулли как число всех "неудач" до r -го "успеха". Для закона распределения этой с.в. используют обозначение L (X) = (r, p). При этом

 

j = 0, 1, 2,....

Подсчет показывает, что математическое ожидание и дисперсия отрицательной с.в. X даются равенствами

 

где q = 1 - p.

 

1.5. Геометрическая с.в. В частном случае r = 1 отрицательную биномиальную с.в. называют геометрической случайной величиной. Это будет с.в. X с законом распределения (1, p), для которого

 

P(X = j) = p (1 - p) ^j, j = 0, 1, 2,....

 

Иногда геометрическое распределение вероятностей называется распределением Фарри. Математическое ожидание и дисперсия этого распределения находятся по формулам

 

 

1.6. Случайная величина с распределением Паскаля определяется как число всех испытаний в схеме Бернулли до наступления r -того "успеха". Закон распределения Паскаля дается формулой

 

j = r, r + 1,...

 

Между отрицательной биномиальной с.в. X и распределенной по закону Паскаля с.в. Y (при фиксированных r и p) имеет место простая связь Y = X + r. Отсюда имеем

 

 

Моделирование случайных величин с распределением Паскаля, геометрической и отрицательной биномиальной основывается на их определении и на алгоритме моделирования последовательности испытаний Бернулли.

1.7. Пуассоновская случайная величина X является одной из наиболее важных дискретных с.в. Она принимает свои значения из множества c = {0, 1,...} целых неотрицательных чисел, а закон распределения Пуассона задается формулой

 

p_k Î c

 

где l > 0 -- параметр распределения. Закон распределения Пуассона

с параметром l принято обозначать П(l). Как известно из курса теории вероятностей, математическое ожидание и дисперсия пуассоновской с.в. совпадают между собой и равны параметру ее распределения:

 

M X = l и D X = l.

 

Закон Пуассона является предельным для биномиального распределения и поэтому справедлива приближенная формула

 

(7)

где p мало, а n -- достаточно велико.

По закону Пуассона часто распределено число случайных событий, происходящих в каком-либо промежутке времени (например, число распавшихся атомов радиоактивного вещества за единицу времени). Иногда закон Пуассона описывает не временные, а пространственные случайные явления. Тогда с.в. X трактуется как число точек, попавших в часть пространства заданного объема (например, число изюминок в булочке).

Для моделирования пуассоновской с.в. можно использовать как универсальный метод, так и аппроксимирующую формулу (7). В последнем случае следует выбрать достаточно большое n и положить . В этом случае, согласно (7), биномиальное распределение B_i (n, ) будет близко к пуассоновскому П(l).

Ниже, при рассмотрении непрерывных с.в., мы укажем еще один способ моделирования пуассоновских с.в.

Приведем еще два, важных с точки зрения приложений, примера дискретных с.в., для моделирования которых можно воспользоваться описанным выше универсальным методом.

1.8. Гипергеометрическая с.в. Пусть в множестве N элементов содержится k элементов с признаком B. Из множества извлекаются случайным образом n элементов (n £ N) без возвращения. Тогда число X элементов с признаком B, содержащихся в выборке, подчиняется гипергеометрическому закону распределения вероятностей. Вероятность появления в выборке из n элементов ровно x с признаком B определяется формулой

 

(8)

 

в которой 0 £ x £ min(n, k) £ N. Эта формула и задает так называемое гипергеометрическое распределение вероятностей, определяемое тремя параметрами N, n, k, и обозначаемое Hg (N, n, k). Подсчет математического ожидания и дисперсии гипергеометрической с.в. X приводит к формулам

 

1.9. Равномерно распределённая дискретная с.в. X -- это с.в. с конечным множеством возможных значений c = { x_i, i Î I }, принимаемых с одинаковыми вероятностями. Если множество c состоит из N элементов, то

 

для любого i Î I (9)

 

Равномерный закон дискретной с.в., таким образом, определяется одним параметром N и обозначается Ud (N). С.в. X с равномерным распределением Ud (N) имеет математическое ожидание

 

 

и дисперсию