Моделирование дискретных случайных векторов

 

5.1. Общий подход. Пусть X = (X ₁,..., X _n) - дискретный случайный вектор с множеством возможных значений c = { x ⁽ⁱ⁾, i Î I }, где , I - конечное или счетное множество целых индексов. Пусть

 

 

- закон распределения вероятностей случайного вектора } X, при этом для всех iÎ I p _i > 0 и å_{i Î I} = 1. Если U - с.в. с равномерным распределением R _[0,1], то, очевидно,

 

.

 

Отсюда следует алгоритм моделирования вектора X: если величина U принимает значение u:

 

,

 

то вектор X полагается равным x ⁽ⁱ⁾. Отметим, что по сути этот алгоритм ничем не отличается от "универсального метода" моделирования дискретной скалярной с.в., описанного в первой главе.

5.2. Полиномиальный случайный вектор связан с одноименной схемой независимых испытаний, являющейся обобщением схемы Бернулли. Напомним, что полиномиальная схема испытаний представляет собой последовательность независимых испытаний, каждое из которых может иметь один из n исходов A ₁,..., A _n, наступающих в каждом испытании с вероятностями
p _i = P (A _i), . Пусть N - число испытаний по полиномиальной схеме. Введем случайный вектор X = (X ₁,..., X _n), k - тая координата X _k которого означает число наступлений события A _k в N испытаниях. Этот вектор и называют полиномиальным случайным вектором. Очевидно, что координаты вектора X - неотрицательные целые числа, связанные между собой равенством: X ₁ +... + Xn = N. Множество значений этого вектора конечно, а сами значения — n -мерные векторы вида x ⁽ⁱ⁾ = (k ₁,..., k _n) с целыми координатами, для которых 0 £ k _r £ N, \sum_{r=1}^nk_r=N.\ $

Из теории вероятностей известен закон распределения вероятностей полиномиального вектора:

 

, (11)

 

где индекс i однозначно определён вектором (k ₁,..., k _n). Для моделирования полиномиального вектора можно применить описанный выше общий подход. Однако, целесообразнее использовать "структуру" полиномиального вектора, вытекающую из свойства "воспроизводимости", согласно которому он представим в виде суммы

 

X = X ⁽¹⁾ + ×××+ X ^(N), (12)

 

в которой слагаемое X ^(r) порождается r -тым испытанием. При этом векторы X ^(r), r = независимы и одинаково распределены. Поэтому достаточно рассматривать X ⁽¹⁾. Множество возможных значений вектора X ⁽¹⁾ исчерпывается совокупностью n векторов вида x ⁽ⁱ⁾ = (0,...,0,1,0,...,0), у которых все координаты, кроме i -той, равны 0, а i -тая равна 1. Распределение вероятностей вектора X ⁽¹⁾ задается формулой (11) при N = 1:

 

, i = .

 

Таким образом, для моделирования полиномиального вектора X достаточно смоделировать N независимых одинаково распределенных слагаемых X ^(r) в правой части (12). Для моделирования самих слагаемых X ^(r) используется изложенный в предыдущем пункте "общий подход".

\vskip 2 true cm