Статистическое моделирование

и

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

Учебное пособие

САМАРА 1997

УДК 519.6

Статистическое моделирование и метод Монте-Карло:

Учебное пособие/ А.Ф.Тараскин; Самар.гос.аэрокосм.ун-т.

Самара, 1997. 62 с.

ISBN 5-7883-0007-X

 

 

Изложены методы моделирования случайных величин, векторов и процессов.

Предназначено для студентов специальности "Прикладная математика" при выполнении курсовых и расчетно-графических работ по курсам "Теория вероятностей и математическая статистика" и "Случайные процессы".

Подготовлено на кафедре "Техническая кибернетика".

 

Библиогр.: 10 назв.

 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П.Королева

 

 

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. А.И.Жданов

канд. физ.-мат. наук, доц. С.Я.Шатских

 

ISBN 5-7883-0007-X ÓТараскин А.Ф., 1997

ÓСамарский государственный

аэрокосмический университет, 1997

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ...................................................................................... 4

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН..................... 6

 

1. Моделирование дискретных случайных величин................ 6

 

2. Моделирование непрерывных случайных величин............ 10

 

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ................. 32

 

1. Моделирование вектора с независимыми координатами... 32

 

2. Универсальный метод моделирования

непрерывных случайных векторов....................................... 34

 

3. Метод преобразований......................................................... 37

 

4. Моделирование гауссова вектора......................................... 39

 

5. Моделирование дискретных случайных векторов............... 40

 

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ............. 41

 

1. Общие замечания................................................................... 41

 

2. Квазислучайные процессы.................................................... 42

 

3. Приближенное моделирование случайного процесса......... 44

 

4. Процессы с независимыми значениями................................ 46

 

5. Процессы с независимыми приращениями.......................... 47

 

6. Марковские процессы........................................................... 49

 

7. Стационарные процессы....................................................... 54

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................................................. 61

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Метод статистического моделирования, известный в литературе также под названием метода Монте-Карло, дает возможность конструировать для ряда важных задач алгоритмы, хорошо приспособленные к реализации на компьютерах. Возникновение метода Монте-Карло связывают обычно с именами Дж.Неймана, С.Улама, Н.Метрополиса, а также Г.Кана и Э.Ферми; все они в 40-х годах работали в Лос-Аламосе (США) над созданием первой атомной бомбы. Название "Монте-Карло" произошло от города Монте-Карло (княжество Монако), известного своими казино, ибо одним из простейших приборов для генерирования случайных чисел служит рулетка.

Хотя общепринятого определения методов Монте-Карло не существует, тем не менее под этим названием подразумевают численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и процессов. Основная идея метода -- связь между вероятностными характеристиками различных случайных процессов (вероятностями случайных событий или математическими ожиданиями случайных величин) и величинами, являющимися решениями задач математического анализа (значениями интегралов, решениями дифференциальных уравнений и т.п.). Оказывается, что вместо вычисления ряда сложных аналитических выражений можно "экспериментально" определить значения соответствующих вероятностей и математических ожиданий. Этот метод получил широкое развитие в связи с новыми возможностями, которые дают быстродействующие электронные вычислительные машины.

Продемонстрируем суть метода на простейшей задаче. Пусть требуется приближенно определить математическое ожидание M X с.в. X. Пусть x₁, x₂,..., x_n -- значения величины X, полученные при n независимых испытаниях (измерениях) с.в. X. Тогда величина

 

, (1)

 

где X_k, k = 1,..., n -- независимые с.в. с общим распределением, совпадающим с распределением с.в. X, в соответствии с центральной предельной теоремой распределена по закону, близкому к гауссовому с параметрами

,

 

Поэтому имеет место оценка (с надежностью 0,997)

 

. (2)

 

Таким образом, в этом случае "время" связано обратной зависимостью с достигаемой точностью e

 

. (3)

 

Необходимо отметить одну особенность метода Монте-Карло, состоящую в том, что оценка погрешности вычислений имеет вероятностный характер. При этом методе нельзя утверждать, что ошибка не превысит какого-либо значения. Можно только указать границы, за которые ошибка не выйдет с вероятностью, близкой к единице. В частности, в оценке (2) эта вероятность равнялась 0,997.

В соответствии с основной идеей метода Монте-Карло для приближенного вычисления величины a необходимо "придумать" такую с.в. X, чтобы M X = a. При этом сама величина X может быть функцией какой-то скалярной или векторной случайной величины, или даже функционалом от случайного процесса. Поэтому первоочередной задачей при использовании метода Монте-Карло является задача моделирования случайных величин или случайных процессов. Эта задача и рассматривается в настоящем пособии. Оно состоит из трех глав. Распределение материала по главам таково.

В первой главе даются некоторые "прямые" и "специальные" методы моделирования случайных величин. Приводятся алгоритмы моделирования большого числа часто встречающихся в различных исследованиях дискретных и непрерывных с.в. Поскольку часть рассматриваемых с.в. студентам может встретиться впервые, в пособии приводятся попутно некоторые сведения о них.

Во второй главе излагаются способы моделирования случайных векторов. Рассматривается моделирование вектора с независимыми координатами. В частности, приводятся равномерное распределение в параллелепипеде и гауссово распределение с независимыми координатами. Приводятся два общих метода моделирования векторов: так называемый универсальный метод и метод преобразований. С помощью последнего рассмотрено моделирование произвольного невырожденного гауссова вектора.

Третья глава посвящена моделированию некоторых случайных процессов. В их числе квазислучайные процессы, процессы с независимыми значениями и независимыми приращениями. К последним относятся, в частности, винеровский процесс и процессы Пуассона. Рассмотрено моделирование основных классов марковских процессов, включая цепи Маркова, марковские процессы с непрерывным временем и дискретным фазовым пространством, а также диффузионные марковские процессы. Изложены методы моделирования стационарных процессов, среди которых подробно рассмотрены стационарные процессы с непрерывным временем, имеющие дробно-рациональную спектральную плотность, и стационарные случайные последовательности авторегрессии и скользящего среднего. Представлен также общий подход к приближенному моделированию процессов, основанный на их ортогональном разложении.