Середні значення та їх оцінки

Середньоквадратичним відхиленням Ѕ^* величин х_1, х_2, …,х_п від їх середнього значення є:

(12.26)

Якщо всі n вимірювань величини а зроблені з однаковою точністю (так звані рівноточні вимірювання), то в якості оцінки істинного значення а вимірюваної величини приймають середньоарифметичне результатів вимірювань, тобто а ≈ .

Наведені нижче довірчі оцінки істинного значення а вимірюваної величини надаються у припущенні, що випадкові помилки вимірювань підпорядковані нормальному закону розподілу ймовірностей. Тут розглядаються лише симетричні довірчі оцінки, які мають вигляд нерівностей:

або (12.27)

де ε – похибка вимірювань.

Похибку ε визначають за заданою (0,95, 0,99 або 0,999) довірчою ймовірністю (ймовірності оцінки) Р у виді одного з трьох рівнів.

Довірчу оцінку при відомій точності вимірювань проводять наступним способом. Якщо середньоквадратична похибка σ заздалегідь відома, то довірча оцінка має вигляд:

(12.28)

де п – число вимірювань; значення t(Р) визначають за заданоюдовірчою ймовірністю Р за умови:

2Ф(t) = Р, (12.29)

тобто його знаходять з додатку Б.

Таким чином,

Приклад 5

Отримано десять результатів вимірювань:

№ виміру
значення	35,6	35,9	36,1	36,2	35,9	36,6	36,2	35,9	36,1	36,1

Необхідно оцінити дійсне значення вимірюваної величини з надійністю Р=0,99.

Рішення.

Середнє значення результату вимірювання та σ = 0,28. За додатком Б для Р=2Ф(t)=0.99, тобто для 1-Р=0,01, знаходимо значення t=2,576. Отже, з надійністю 0,99 можна вважати, що

тобто значення а знаходиться у інтервалі (35,83; 36,29).

Якщо середньоквадратична похибка σ заздалегідь невідома, замість неї використовують емпіричний стандарт S, який служить оцінкою параметру σ:

(12.30)

При цьому довірча оцінка (6.2) має вигляд

(12.31)

де множник t (Р;k) залежить вже не тільки від довірчої ймовірності Р, а й від числа вимірювань n (k= п- 1); k- число ступенів свободи.

Значення цього множника для п'яти рівнів надійності Р та для різних значень числа k ≥ 4 наведені у додатку Г. Додаток складено за допомогою так званого розподілу Стьюдента, тобто розподілу ймовірності співвідношення .

Значення t=t ((Р;k) визначені так, що:

Розподіл Стьюдента залежить від числа ступенів свободи k. Для задачі, що розглядається, число ступенів свободи k пов'язано з числом вимірів п співвідношенням k = п -1.

Приклад 6

Нехай для десяти вимірів, результати яких наведені у попередньому прикладі, величина σ невідома. Необхідно оцінити істинне значення величини а з надійністю Р=0,99.

Рішення

Для результатів вимірів середньоарифметичне та середньоквадратичне значення складають відповідно = 36,06 та S ^* = 0,25 При заданій надійності Р=0,99 та числі вимірювань п =10 за додатком Г множник t(0,99;9) = 3,250. Отримаємо довірчу оцінку істинного значення а:

| а - | = | а - 36,06| < 3,250 = 0,27.

Таким чином, з надійністю 0,99 можна вважати, що значення а знаходиться в інтервалі (35.79; 36.33).

При цьому необхідно врахувати наступне зауваження. Довірчу оцінку, що визначалася за формулою (12.30), неможливо замінити оцінкою, яка визначалася виразом (12.28), з підставлянням емпіричного стандарту S замість істинного стандарту σ, тобто множник t (Р;k) не можна замінити множником t (Р) з додатку Б. Наприклад, при надійності Р=0,99 значення t(0,99) =2,576, а для десяти вимірів значення t(0,99;9)=3,250. Таким чином, при невідомій точності відмірювань довірчий інтервал значно ширше, ніж при відомій точності вимірювання. Значення t (Р;k) знижуються зі збільшенням числа вимірів |k→∞| прямують до значень t(Р).

Це видно із порівняння останньої строки додатку В з відповідними значеннями з додатку Б.

Оскільки вибір надійності довірчої оцінки припускає деяку невизначеність, для обробки результатів експерименту застосовують правило трьох сигм, яке представляє собою довірчу оцінку при відомій величині σ:

(12.32)

або при невідомій величині σ

(12.33)

Перша з цих оцінок має надійність 2Ф(3) = 0,9973 ≈ 1 – 0,003 незалежно від числа вимірювань. Надійність другої оцінки істотно залежить від числа вимірювань п (табл. 6.1) експериментів (тобто чим більше надмірної інформації). Наприклад, для проведення прямої у = ах+b цілком достатньо двох точок (х₁,у₁) та (х₂;у₂). Але при наявності більш значного "шуму" (рис. 6.1), тобто відхилень від середніх значень, для тієї ж мети може знадобитися декілька десятків точок.

Емпіричну формулу зазвичай вибирають з формул певного типу (наприклад, у = ах + b, у = ае^bx +с).

Таблиця 12.2

Залежність надійності Р від числа вимірювань n

п	P	n	P	п	P
	0,960		0,985		0,993
	0,970		0,988		0,994
	0,976		0,990		0,995
	0,980		0,991		0,996
	0,983		0,992		0,997
				∞	0,9973