ТОП 10:

Типичные ЗЛП и их математические модели



1. Задача об использовании сырья. Некоторое производство выпускает n видов продукции с использованием m видов сырья. Известны: aij - количество i-го вида сырья, затрачиваемого на выпуск единицы продукции j-го вида; bi - запасы i-го вида сырья; cj - прибыль от реализации единицы продукции j-го вида. Составить план производства продукции (то есть определить, в каком количестве выпустить каждого вида продукции), обеспечивающий максимальную прибыль.

Составим математическую модель задачи.

Обозначим через xj количество выпускаемой продукции j-го вида; x1 - количество выпускаемой продукции 1-го вида, x2 - количество выпускаемой продукции 2-го вида и т.д. Тогда c1x1 - прибыль от реализации всей произведённой продукции 1-го вида, и, вообще, cjxj - прибыль от реализации всей произведённой продукции j-го вида, c1x1+c2x2+…+cnxn - общая прибыль от реализации всей произведённой продукции. Это - целевая функция, максимум которой мы должны получить: c1x1+c2x2+…+cnxn®max.

Количество сырья первого вида, затрачиваемого на выпуск единицы продукции первого вида, равно a11, x1 - количество выпускаемой продукции первого вида. Поэтому всего сырья первого вида на выпуск всей продукции первого вида уйдёт в количестве a11x1. Аналогично, a12x2 - общее количество сырья первого вида, которое уйдёт на впуск всей продукции второго вида и т.д. Всего же количество сырья первого вида, которое уйдёт на производство всех видов продукции, равно a11x1+a12x2+…+a1nxn, и оно не может превосходить общие запасы сырья первого вида, то есть b1: a11x1+a12x2+…+a1nxnb1. Аналогично рассуждая в общем случае относительно i-го вида сырья, получим неравенство ai1x1+ai2x2+…+ainxnbi (i=1, 2, …, m). Наконец, количество выпускаемой продукции j-го вида не может быть отрицательным: xj≥0 (j=1, 2, …, n). И мы приходим к следующей математической модели задачи:

c1x1+c2x2+…+cnxn®max

(1.4)

2. Задача о составлении рациона (задача о диете). Сельхозпредприятие занимается откормом скота. В откормочный рацион входит n видов продуктов, которые содержат m видов питательных веществ. Известны: aij - количество i-го вида питательного вещества в единице продукта j-го вида; bi - необходимое количество питательного вещества i-го вида, содержащегося в рационе; cj - стоимость единицы продукта j-го вида. Составить рацион (то есть определить, в каком количестве включить в рацион продукта каждого вида), при котором достигается минимальная стоимость рациона.

Составим математическую модель задачи.

Обозначим через xj количество продуктов j-го вида, включаемого в рацион. Тогда c1x1+c2x2+…+cnxn - общая стоимость рациона, которая должна быть минимальной: c1x1+c2x2+…+cnxn®min.

Количество питательного вещества первого вида, входящего в единицу продукта первого вида, равно a11, x1 - количество продукта первого вида, входящего в рацион. Поэтому всего питательного вещества первого вида, входящего в рацион с продуктами первого вида, составит a11x1. Аналогично, a12x2 - общее количество питательного вещества второго вида, входящего в рацион с продуктами второго вида, и т.д. Всего же количество питательного вещества первого вида, которое поступит в рацион со всеми видами продуктов, равно a11x1+a12x2+…+a1nxn, и оно не может быть меньше положенного количества, то есть b1: a11x1+a12x2+…+a1nxnb1. Аналогично рассуждая в общем случае относительно i-го вида питательных веществ, получим неравенство ai1x1+ai2x2+…+ainxnbi (i=1, 2, …, m). Наконец, количество продуктов, входящих в рацион, не может быть отрицательным: xj≥0 (j=1, 2, …, n). И мы приходим к следующей математической модели задачи:

c1x1+c2x2+…+cnxn®min

(1.5)


Упражнения.

1) Какие из следующих задач являются задачами линейного программирования, какие нет:

а) -2x1+x2+8x3-2x4®min б) -2x1+ +8x3-2x4®min

в) -3x1-2x2+x3®min(max) г) 4x1+x2®min(max)

д) -3x1-2x2+x3®min(max) е) 4x1+x2®min(max)

ж) -3x1+x2+2x3®max(min) з) -3x1+2x2+2x3®max(min)

Решение. а) задача является задачей линейного программирования, так как и целевая функция -2x1+x2+8x3-2x4, и функции и в ограничениях линейные.

б) Задача не является задачей линейного программирования, так как целевая функция не является линейной - переменная x2 входит в функцию в квадрате: .

Составить математические модели следующих задач:

2) При производстве двух видов продукции используется три вида сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли. Исходные данные приводятся в таблицах:

а) Запасы сырья Расход сырья на единицу продукции б) Запасы сырья Расход сырья на единицу продукции
  №1 №2   №1 №2
   
   
   
  Прибыль   Прибыль

3) В рационе животных используется два вида кормов. Животные должны получать три вида питательных веществ. Составить рацион наименьшей стоимости. Исходные данные приводятся в таблицах:

а) Необходимое количество пит. вещ-тв Содержание пит. вещ-ва в ед-це корма б) Необходимое количество пит. вещ-тв Содержание пит. вещ-ва в ед-це корма
  №1 №2   №1 №2
   
   
   
  Стоимость ед-цы корма   Стоимость ед-цы корма

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.229.118.253 (0.006 с.)