Дискретизация непрерывных сообщений

 

Преобразование аналогового сигнала в дискретный называется дискретизацией. В результате ее получается амплитудно-импульсный сигнал (АИМ). Различают амплитудную импульсную модуляцию первого (АИМ-1) и второго рода (АИМ-2).

При АИМ-1 амплитуда импульса следует за изменениями модулирующего сообщения в течение всего времени существования этого импульса (рисунок 4, в). Модулированная последовательность в этом случае определяется

U (t) = U ₀ [1 + m _АИМ λ(t)] , (4)

где U ₀ – амплитуда немодулированных прямоугольных импульсов;

S ₀(t) = U ₀ – последовательность немодулированных импульсов с периодом следования Т ₀;

S (t) – нормированная функция, выражающая форму импульса;

t_i = iТ ₀ + t _н – момент появления i -го импульса относительно t = 0 (i = 1, 2, 3,...);

t _н – величина, характеризующая положение начального импульса;

m _АИМ – коэффициент глубины модуляции импульсов.

 

В случае АИМ-2 амплитуда импульса определяется мгновенным значением сообщения, взятым в момент t_i = iТ ₀, и сохраняется постоянной во время импульса (рисунок 4, г).

 

 

Рисунок 4 – Формирование амплитудно-импульсного сигнала

 

Модулированный сигнал АИМ-2 можно записать следующим образом:

U (t) = U ₀ [1 + m _АИМ λ(t)] S (t – t_i), (5)

 

Определим спектр сигнала АИМ-1, если модулирующий (дискретизируемый) сигнал имеет вид λ(t) = U cos ω t, где U – амплитуда гармонического сигнала (U = 1 В). В этом случае выражение (4) принимает вид

 

U (t) = U ₀ [1 + m _АИМ cos ω t ] , (6)

 

Так как функция S ₀(t) периодическая, ее можно разложить в ряд Фурье

(7)

 

где ω₀ = 2π/ Т ₀ = 2π f ₀ – круговая частота основной (первой) гармоники прямоугольных импульсов (частота дискретизации), рад/с;

A_n = U ₀ – амплитуда n -й гармоники;

– постоянная составляющая;

φ _n – начальная фаза n -й гармоники.

 

Таким образом, спектр несущего колебания содержит постоянную составляющую и гармоники частоты дискретизации.

Подставляя выражение (7) в равенство (6), получим

 

 

или после обычных преобразований

 

U (t) = a ₀/2 + 1/2 m _АИМ a ₀cosω t + A_n cos(n ω₀ t + φ _n) +

+ 1/2 m _АИМ A_n cos[(n ω₀ + ω) t + φ _n ] + (8)

+ 1/2 m _АИМ A_n cos[(n ω₀ - ω) t + φ _n ].

Если модулирующий (дискретизируемый) сигнал имеет вид λ(t) = U ,(при U = 1 В) то сигнал на выходе модулятора при АИМ-2 определяется соотношением

 

(9)

 

где | A (j ω)| – модуль спектральной плотности немодулированных импульсов.

Для прямоугольного импульса модуль спектральной плотности амплитуд

A (ω) = | A (j ω)| = ,

 

где t _и – длительность прямоугольного импульса.

 

При ω = 0 модуль спектральной плотности | A (j ω)| = U ₀ t _и.

Поскольку модуль спектральной плотности | A (j ω)| входит в общей форме в выражение (9), оно пригодно для расчета частотных спектров при любой форме немодулированных импульсов.

Из формул (8) и (9) видно, что спектр АИМ сигнала состоит из постоянной составляющей, спектральной составляющей, имеющей частоту ω модулирующего сигнала, и ряда боковых частот типа
n ω₀ ± ω при каждой гармонике частоты дискретизации. Составляющую с частотой ω можно считать боковой частотой при «нулевой» гармонике (ω = 0) частоты дискретизации (рисунок 5).

Общий характер спектров сигналов АИМ-1 и АИМ-2 одинаков. В обоих случаях в составе спектра имеется составляющая с частотой ω. Есть и различия, которые сводятся к следующему. При АИМ-1 амплитуды колебаний двух боковых частот, симметрично расположенных по обе стороны каждой гармоники частоты дискретизации, равны между собой и определяются значением спектральной плотности одиночного импульса А_п. При АИМ-2 эти амплитуды различны и определяются значениями А (n ω₀ ± ω). Что касается спектральной составляющей с частотой ω, то при АИМ-1 ее амплитуда пропорциональна а ₀, а при АИМ-2 – А (ω). Указанные различия между АИМ-1 и АИМ-2 становятся незначительными если модулирующее сообщение за время существования импульса изменяется мало. Это происходит при уменьшении длительности импульсов t _и. В пределе, при t _и → 0, различие между АИМ-1 и АИМ-2 пропадает.

 

 

Рисунок 5 – Спектральная диаграмма АИМ сигнала при синусоидальном модулирующем сигнале

 

При отсутствии перемодуляции боковые составляющие, по крайней мере, в 2 раз меньше своих несущих.

Задача восстановления непрерывного сигнала из последовательности его дискретных отсчетов как при АИМ-1, так и АИМ-2 заключается в фильтрации модулирующего сигнала с частотой ω, находящегося в низкочастотной части спектра АИМ сигнала, с помощью ФНЧ, при этом подавляются составляющие высокочастотной части спектра.

В тех случаях, когда модулирующий сигнал характеризуется спектром с полосой частот от ω_н до ω_в, спектральная диаграмма АИМ сигнала будет иметь более сложный вид. Теперь вместо отдельных пар боковых колебаний около частот n ω₀ (где п = 1, 2, 3,…) будут наблюдаться боковые полосы (рисунок 6), а в низкочастотной части спектра модулированного колебания – спектр модулирующего сигнала. С помощью ФНЧ из такого спектра АИМ сигнала может быть выделена полоса частот модулирующего сигнала.

Рассмотрим вопрос о выборе величины частоты дискретизации f ₀. Если она выбрана из условия f ₀ = 2 F _в (ω₀ = 2ω_в), то, как следует из рисунка 6, нижняя боковая полоса частот, определяемая из условия (ω₀ - ω_в = 2ω_в - ω_в = ω_в), совпадает с верхней частотой спектра модулирующего сигнала, а для восстановления непрерывного сигнала из последовательности его дискретных отсчетов необходимо использовать идеальный фильтр нижних частот с частотой среза F_ср = F_в (ω_ср = ω_в).

В реальных системах частоту дискретизации выбирают из условия f ₀ > 2 F _в, обычно f ₀ = (2.3 … 2.4) F _в, и, в частности, для дискретизации телефонных сообщений, имеющих диапазон частот 0.3 … 3.4 кГц, величина частоты дискретизации выбрана 8 кГц. При этом образуется защитный промежуток Δ f _з (Δω_з), позволяющий использовать простые ФНЧ на приеме для восстановления непрерывного сигнала из последовательности его дискретных отсчетов.

 

 

Рисунок 6 – Спектральная диаграмма АИМ сигнала при модулирующем сигнале с полосой частот от ω_Н до ω_В

 

Если f ₀ < 2 F _в, то выделение модулирующего сигнала с помощью ФНЧ окажется невозможным, так как в полосу пропускания фильтра попадет часть нижней боковой полосы частот. Таким образом, убеждаемся в необходимости выполнения условия (1), вытекающего из теоремы Котельникова.