Магнитное поле. Магнитная индукция.

На правах рукописи

Физика

Конспект лекций

(Часть 4. Электромагнитные явления)

 

Для студентов направления 230400

«Информационные системы и технологии»

 

Электронный образовательный ресурс

 

 

Составитель: к.ф.-м.н., доцент В.В. Коноваленко

 

Рассмотрен и рекомендован для использования в учебном процессе на 2013/2014 – 2015/2016 уч. г. на заседании кафедры ЕНД.

Протокол № 1 от 04. 09. 2013 г.

 

Шахты 2013

 

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Взаимодействие токов

Самостоятельно: § 39.

Магнитное поле. Магнитная индукция.

Экспериментально установлено, что при пропускании электрического тока по двум параллельным проводникам они, в зависимости от направлений токов, либо притягиваются, либоотталкиваются. Протекающий по проводнику ток оказывает ориентирующее действие на магнитную стрелку. Таким образом, при протекании по проводнику тока свойства окружающего пространства изменяются: в нем возникает магнитное поле, посредством которого осуществляется взаимодействие проводника с током с другими токами, магнитной стрелкой и т. п. Из опыта следует, что магнитное поле имеет направленный характер, а значит должно характеризоваться некоторой векторной величиной. Аналогично магнитной стрелке магнитное ноле оказывает ориентирующее действие и на замкнутый контур с током. Магнитные свойства плоского замкнутого контура с током можно охарактеризовать его магнитным моментом :

(18.1)

где - сила тока в контуре;

- площадь контура;

- положительная единичная нормаль к контуру.

Положительной нормалью называют нормаль, связанную с направлением тока в контуре правилом правого винта.

В магнитном поле на контур с током действует вращательный момент , величина которого зависит от ориентации контура в пространстве. При некоторой ориентации модуль достигает максимально­го значения. Отношение не зависит от , и характеризует интен­сивность магнитного поля в том месте, где расположен контур. Если контур с током предоставить самому себе, то он займет такое положение, при котором . Таким образом, действие магнитного поля на контур с током может быть использовано для определения векторной характеристики магнит­ного поля, аналогичной напряженности электростатического поля.

По определению магнитной индукцией будем называть вектор , модуль которого

, (18.2)

а направление совпадает с направлением магнитного момента контура в по­ложении равновесия.

Отличие проводника с током от просто проводника заключается только в том, что в проводнике с током имеется направленное движение электричес­ких зарядов. Следовательно, магнитное поле порождается только движущими­ся зарядами.

Аналогично, поскольку магнитное поле действует только на проводники с током, можно утверждать, что магнитное поле воздействует только на дви­жущиеся заряды.

Экспериментально установлено, что для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции: поле, порождаемое несколькими движущимися зарядами (токами), равно векторной сумме полей , порождаемых каждым зарядом в отдельности:

Закон Био-Савара-Лапласа.

Закон БСЛ позволяет вычислить индукцию поля в произвольной точке, которая создается проводников с током I.

Элемент проводника длиной и сечением содержит носителей тока ( - концентрация носителей). Каждый из носителей создает поле с индукцией

(18.6)

Среднее по всем носителям тока в элементе значение индукции

 

(18.7)

Умножив (18.7) на количество носителей тока в , получим индукцию, создаваемую элементом :

(18.8)

Поскольку , выражение (18.8) принимает вид:

. (18.9)

можно рассматривать как вектор, направленный вдоль , и считать

(18.10)

Соответственно получаем:

(18.11)

Соотношение (18.11) называется законом Био-Савара-Лапласа.

Вычисление индукции поля прямого тока

Индукция поля прямого тока находится по формуле . Вывод этой формулы на основе закона Био-Савара-Лапласа изучить самостоятельно: § 42.

Сила Лоренца

На движущийся в магнитном поле заряд действует сила, которую есте­ственно называть магнитной. Логично предположить, что эта сила должна быть пропорциональна величине заряда q, его скорости и индукции маг­нитного поля . Действительно, экспериментально установлено, что

(18.12)

Отметим, что, в соответствии с определением, магнитная сила всегда перпен­дикулярна скорости заряда и индукции поля, а значит - работы над зарядом не совершает. (18.А = 0)

Если на заряженную частицу одновременно действуют электрическое и маг­нитное поля, то результирующая сила будет равна

(18.13)

Эта сила называется силой Лоренца.

Закон Ампера

Закон Ампера определяет силу, действующую на проводник с током в магнитном поле. Получим формулу закона Ампера, исходя из выражения для силы Лоренца.

На каждый из носителей тока в проводнике, находящемся в магнитном поле действует сила

(18.14)

За счет взаимодействия носителей тока с остальным веществом проводника эта сила передается всему проводнику в целом. Усредняя силу (18.14) по всем носителям тока находящимся в элементе проводника, получаем:

(18.15)

Число носителей тока в элементе равно, очевидно, . Умножив, (18.15) на это число, получим

(18.16)

Учтем, что , а . Тогда (18.16) приводится к виду:

(18.17)

Формула (18.17) определяет силу, действующую на элемент тока в магнитном поле, и выражает закон Ампера.

Дивергенция магнитного поля

До настоящего времени экспериментально обнаружить магнитные заряды не удалось. Соответственно линии вектора не имеет ни начала, ни конца и всегда замкнуты. Соответственно поток через любую замкнутую поверх­ность должен быть равен нулю. Таким образом, теорема Гаусса в интегральной форме для вектора выражается формулой:

(18.40)

– поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность ра­вен нулю.

Преобразуем поверхностный интеграл в (18.40) по теореме Остроградского-Гаусса:

(18.41)

Уравнение (18.41) должно выполняться для произвольного объема, а поэтому

(18.42)

Соотношение (18.42)выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме для вектора индукции магнитного поля.

Ротор магнитного поля

Циркуляция вектора наиболее просто вычисляется в случае прямого тока. Рассмотрим замкнутый контур, лежащий в плоскости, перпендикулярной к току. В каждой точке контура направлен по касательной к окружности с центром в месте прохождения тока и проходящей через данную точку. В выражении для циркуляции заменим на . Учтем, что - угол, на который поворачивается радиаль­ная прямая при перемещении вдоль контура на . Таким образом,

 

(18.43)

 

Тогда для циркуляции получаем

(18.44)

Если рассматриваемый контур охватывает ток, то при обходе по контуру ра­диальная прямая поворачивается в одном направлении и . Если же контур не охватывает тока, то . Поэтому можно записать:

(18.45)

где под I подразумевается ток, охватываемый контуром.

В выражении (18.45) ток рассматривается как алгебраическая величина: если направление обхода контура образует с направлением тока правовинтовую систему, то ток считают положительным, в противном случае - отрицательным.

Формула (18.45) получена для прямого тока. Но можно доказать, что онасправедлива и в общем случае, для тока произвольной формы.

Представим, что некоторый контур охватывает не один а несколько токов. Для каждого из них справедливо соотношение (18.45). В соответствии с принципом суперпозиции индукция результирующего поля равна векторной сумме полей каждого из этих токов. Поэтому циркуляция вектора индукции результирующего поля (18.46)

По формуле (18.45)

(18.47)

Важно помнить, что сумма в (18.47) является алгебраической.

Возможны ситуации, когда токи распределены в пространстве с некоторой плотностью . Этом случае вместо в (18.47) следует взять ток, который протекает через некоторую поверхность , опирающуюся на контур L. При этом поверхность может быть произвольной, единственное требование – она должна опираться на контур L. Суммарный ток через такую поверхность равен потоку вектора через нее. Поэтому соотношение (18.47) можно представить в виде:

(18.48)

По теореме Стокса

. (18.49)

Следовательно

. (18.50)

Поверхность интегрирования может быть произвольной (опирающуйся на контур L), поэтому должны быть равны подынтегральные выражения:

. (18.51)

Формулы (18.48) и (18.51) отражают существенное отличие электрического и магнитного полей: циркуляция и ротор вектора напряженности электрического поля равны нулю. Это является следствием того, что электростатическое поле потенциально и может быть описано с помощью скалярного потенциала.

Магнитное поле не является потенциальным, его циркуляция не обязательно равна нулю, его нельзя описать с помощью скалярного потенциала. Такие поля называют вихревыми или соленоидальными.

Поле соленоида и тороида.

Самостоятельно. Обратить внимание на вид силовых линий этих полей и формулы для индукции.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

Магнитная проницаемость

Для характеристики магнитных свойств среды используется параметр , который называют магнитной восприимчивостью (аналогичный диэлектрической восприимчивости в соотношении ). Традиционно намагниченность связывают с напряженностью магнитного поля:

. (19.17)

Для большинства веществ в не очень сильных полях магнитная восприимчивость является характерной для данного вещества безразмерной константой. Часто используется молярная восприимчивость , равная произведению на молярный объем вещества: .

Подставим значение намагниченности из (19.17) в (19.13):

. (19.18)

Выразим напряженность поля из (19.18):

. (19.19)

Величину обозначают и называют относительной магнитной проницаемостью:

. (19.20)

Тогда соотношение (19.19) приводится к виду:

, (19.21)

И можно утверждать, что напряженность магнитного поля есть вектор, направленный также, как индукция, но в раз меньший. Однако необходимо иметь в виду, что это утверждение перестает быть справедливым в анизотропных средах.

Виды магнетиков.

Традиционно по величине магнитной восприимчивости (и соответственно магнитной проницаемости) вещества делят на три группы диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики.

У диамагнетиков отрицательна (!) и по модулю составляет порядка . Это означает, что вектор намагниченности в них направлен навстречу напряженности внешнего поля.

У парамагнетиков положительна и имеет значение порядка .

У ферромагнетиков достигает значений порядка . Кроме того ферромагнетики имеют еще ряд особенностей, которые мы рассмотрим позднее. Необходимо отметить, что при повышении температуры ферромагнетики изменяют свои свойства и при характерной для каждого вещества критической температуре переходят в парамагнитное состояние, т.е. становятся парамагнетиками. Можно считать ферромагнетики частным случаем парамагнетиков, которые при понижении температуры испытывают фазовый переход в ферромагнитное состояние.

Природа молекулярных токов

Природу молекулярных токов и диамагнетизма можно объяснить в рамках представлений теории Бора, согласно которой электроны в атомах движутся по избранным стационарным орбитам. При таком движении электрон оказывается эквивалентным волчку (гироскопу) и характеризуется механическим моментом импульса , направленным перпендикулярно плоскости орбиты и связанным с направлением движения правилом правого винта. Вращающийся по орбите электрон создает замкнутый круговой электрический ток. Направление этого тока противоположно скорости движения электрона в силу отрицательности его заряда. Величина тока определяется зарядом, переносимым электроном в единицу времени. Если частота обращения электрона равна , то в единицу времени он переносит заряд , т.е. создает ток силой . Вектор магнитного момента этого кругового тока связан правилом правого винта не со скоростью электрона, а с силой тока и направлен противоположно . Магнитный и механический моменты электрона обусловлены движением электрона по орбите и называются орбитальными.

Отношение магнитного момента частицы к ее механическому моменту является характерным параметром микрочастиц и называется гиромагнитным отношением. Для орбитального движения электрона (с учетом противоположного направления моментов)

(19.22)

 

Спин электрона

Наличие у электрона одновременно магнитного и механического моментов обусловливает существование магитомеханических и механомагнитных явлений.

Существование магитомеханических явлений было экспериментально подтверждено опытами Эйнштейна и де Хааса. Рассматривая парамагнитное тело как замкнутую систему, следует предположить, что при помещении тела в магнитное поле происходит ориентация магнитных моментов электронов полем. Механический момент электронной подсистемы тела становится отличным от нуля. В силу закона сохранения момента импульса тело должно приобрести противоположный момент импульса, т.е. начать вращаться. В опытах Эйнштейна и де Хааса удалось наблюдать возникновение вращательных колебаний железного стержня в переменном магнитном поле.

Барнет наблюдал механомагнитное явление, заключавшееся в возникновении намагниченности у железного стержня, приведенного в очень быстрое вращение. Вращение приводит к ориентации механических моментов электронов в направлении оси вращения. Сопутствующая ориентация магнитных моментов проявляется в намагничении вещества.

Барнету удалось экспериментально измерить гиромагнитное отношение для электронов. Полученное значение соответствовало

, (19.23)

т.е. в два раза превысило ожидаемое. Впоследствии было установлено, что ферромагнитные свойства железа обусловлены не орбитальными магнитными моментами электронов, а так называемыми спиновыми магнитными моментами.

Каждый электрон наряду с зарядом и массой обладает собственным моментом импульса и соответствующим магнитным моментами, которые следует рассматривать как неотъемлемое свойство электрона (и многих других элементарных частиц). Эти моменты называют спиновыми вследствие того, что первоначально было предположение (ошибочное!), что они связаны с вращением электрона вокруг собственной оси.

Спин (механический момент) элементарных частиц оказался кратным величине постоянной Планка , которой считают естественной единицей момента импульса. У электронов спин . Говорят, что электрон принадлежит к числу частиц полуцелым спином. Подставив это значение в формулу (19.23), для спинового магнитного момента электрона найдем:

. (19.24)

Эту величину называют магнетоном Бора.

 

Природа ферромагнетизма

 

Природа ферромагнетизма весьма сложна и связана с квантовомеханическим описанием свойств твердых тел. В кристаллах ферромагнетиков между атомами возникает специфическое обменное взаимодействие, которое стремится установить магнитные моменты атомов в одном направлении жесткому выстраиванию магнитных моментов противостоит тепловое движение, которое вносит хаос в распределение магнитных моментов атомов по направлениям. С понижении температуры (напомним, что при высоких температурах ферромагнетик находится в парамагнитном состоянии) при определенной температуре (температуре Кюри), характерной для кристаллов данного состава, обменное взаимодействие начинает преобладать. Магнитные моменты атомов ферромагнетика выстраиваются в определенном направлении, кристалл самопроизвольно намагничивается. Этот процесс называют возникновением спонтанной намагниченности.

Реально описанный процесс не наблюдается. Это связано с тем, что при выстраивании в определенном направлении всех магнитных моментов атомов, образец кристалла создавал вы в окружающем пространстве сильное магнитное поле. С полем связана энергия, и такое состояние оказывается энергетически невыгодным. Поэтому кристалл разбивается на небольшие области, в пределах которых магнитные моменты атомов действительно параллельны, и намагниченность максимальна. Эти область называются доменами.

Разбиение кристалла на домены происходит хаотично, но таким образом, что магнитные силовые линии расположенных вблизи доменов замыкаются так, что область существования магнитного поля становится минимальной. Уменьшается и энергия, связанная с ним. Таким образом, разбиение на домены означает переход в энергетически более выгодное состояние. Идеализировано эта ситуация представлена на рисунке 19.9.

Однако с границами доменов связана дополнительная энергия, и состояние с очень маленькими доменами оказывается энергетически невыгодным. Поэтому кристалл переходит в энергетически оптимальное состояние, в котором размеры доменов составляют от одного до десяти микрон. Важно при этом, что в пределах домена кристалл предельно намагничен. Поэтому внешнему полю достаточно сместить границы доменов, и возникнет очень большая намагниченность. Смещение границ доменов с увеличение напряженности внешнего поля схематически показано на рисунке. В больших полях кристалл переходит в монодоменное состояние. Вблизи насыщения основной кривой намагнничения намагниченность одного домена поворачивается в направлении внешнего поля. После завершения этого процесса дальнейшее существенное увеличение намагниченности оказывается невозможным, зависимость насыщается.

При повышении температуры кристалла до температуры Кюри, т.е. температуры возникновения спонтанной намагниченности, тепловое движение разрушает магнитную упорядоченность, разрушается спонтанная намагниченность, исчезают домены, кристалл становится парамагнетиком. В этом состоянии магнитная восприимчивость продолжает уменьшаться с ростом температуры по закону Кюри-Вейсса:

,

 

где – характерная для вещества константа Кюри-Вейсса, а – температура Кюри.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

Токи Фуко

Индукционные токи могут возникать не только в контурах, но и в сплошных массивных проводниках. Действительно, всякий сплошной проводник можно представить состоящим из большого количества замкнутых контуров. В этом случае индукционные токи называют вихревыми или токами Фуко.

По правилу Ленца вихревые токи направлены так, чтобы противодействовать причине их вызывающей. Поэтому движущиеся в магнитном поле сплошные проводники испытывают сильное торможение, величина которого зависит от скорости движения. Это используют, например, для торможения подвижных частей стрелочных приборов. При этом торможение уменьшается по мере приближения стрелки к положению равновесия.

В индукционных печах вихревые токи обеспечивают разогрев металлов до плавления.

Однако в трансформаторах индукционные токи приводят к дополнительным потерям энергии на разогрев сердечника, и с ними борются, набирая сердичники из изолированных пластин.

При протекании по проводам тока создается магнитное поле, и носители заряда движутся в этом поле. Если ток переменный, то возникающие токи Токи Фуко увеличивают его вблизи поверхности провода и уменьшают в центре. В результате большая часть переменного тока протекает по поверхности проводника. Это явление называют поверхностным, или скин-эффектом.

Явление самоиндукции

Явление самоиндукции является частным случаем явления электромагнитной индукции. Если в некотором контуре протекает электрический ток, то он создает магнитное поле и магнитный поток через поверхность контура. При изменениях тока изменяется магнитный поток, и возникает ЭДС индукции противодействующая этому изменению по правилу Ленца. Ее и называют ЭДС индукции .

Величина индукции магнитного поля, а значит и магнитный поток через его поверхность, пропорциональны протекающему току:

. (20.10)

Коэффициент пропорциональности в формуле (20.10) называется индуктивностью контура. Единицей индуктивности является 1 генри (Гн).

Индуктивность определяется геометрическими параметрами контура и магнитными свойствами окружающей среды. Для того, чтобы более конкретно представить влияние на величину индуктивности этих факторов вычислим индуктивность соленоида, близкого к идеальному, т.е. с длиной , большой по сравнению с геометрическими размерами сечения, имеющего площадь (). Индукция магнитного поля соленоида при силе тока в нем

(20.11)

где - количество витков на единицу длины соленоида;

- магнитная проницаемость среды внутри соленоида.

Количество витков в соленоиде , и через каждый из них магнитное поле создает поток

. (20.12)

Потокосцепление (полный поток)

. (20.13)

Очевидно, что индуктивность соленоида выражается соотношением

, (20.14)

где есть объем соленоида.

Если в области действия магнитного поля ферромагнетики отсутствуют, то магнитная проницаемость остается постоянной и ЭДС индукции

. (20.15)

20.5. Токи при замыкании и размыкании цепи с индуктивностью

Влияние самоиндукции на протекание тока в цепи очень наглядно демонстрируется характером изменения тока в цепи, содержащей индуктивность и активное сопротивление при ее подключении и отключении от источника тока. В положении переключателя, показанном на рисунке, в цепи идет ток

. (20.16)

Предположим, что в некоторый момент времени переключатель мгновенно отключает источник тока и замыкает индуктивность на резистор. В отсутствие источника сила тока в цепи начнет убывать, но возникнет ЭДС самоиндукции, которая будет ее поддерживать. Падение напряжения на резисторе должно быть равно ЭДС самоиндукции :

. (20.17)

Разделим на :

(20.18)

Разделим в (20.17) переменные:

(20.19)

После интегрирования получаем:

. (20.20)

Потенцирование этого соотношения дает зависимость тока от времени:

. (20.21)

При ток равен начальному значению , поэтому и константа равна этому току:

. (20.22)

Графически эта зависимость выглядит так, как это показано на рисунке. Решение аналогичного уравнения для нарастания тока в цепи приводит к соотношению

. (20.23)

Явление взаимной индукции

Как и самоиндукция, явление взаимной индукции является частным случаем явления электромагнитной индукции. Заключается оно в том, что если один контур создает в пространстве магнитное поле, в котором находится другой контур, то при изменениях тока в первом контуре во втором возникает ЭДС индукции (ЭДС взаимоиндукции) , которая противодействует изменению магнитного потока в первом контуре.

Допустим, что имеются два контура, расположенные недалеко друг от друга, так что магнитные поля, создаваемые каждым из них, создают через витки другого контура ощутимый магнитный поток. Обозначим магнитный поток, создаваемый первым контуром с током через поверхности витков второго контура равен . Этот поток, очевидно пропорционален силе тока в первом контуре:

. (20.24)

Аналогичным образом ток второго контура создает через витки первого поток

. (20.25)

Контуры в этом в этом случае называют связанными. При изменениях тока в одном из контуров в другом индуцируется ЭДС взаимной индукции соответственно

и . (20.26)

Коэффициенты и называют коэффициентами взаимной индукции или взаимными индуктивностями. Их величина определяется формой, размерами, взаимным расположением контуров и магнитными свойствами окружающей среды. В отсутствие ферромагнетиков эти коэффициенты одинаковы.

Энергия магнитного поля

В цепи, показанной на рисунке, в исходном состоянии течет ток по индуктивности и резистору . При отключении источника тока магнитный поток в индуктивности должен упасть до нуля, но ЭДС самоиндукции некоторое время поддерживает ток, препятствуя его прекращению. При этом в резисторе продолжает выделяться энергия. В схеме и окружающих телах никаких изменений, кроме уменьшения индукции магнитного поля в катушке индуктивности не происходит. Остается предположить, что выделяющаяся в резисторе энергия была связана с существованием магнитного поля в катушке.

В процессе уменьшения тока за время ЭДС самоиндукции совершает работу

. (20.27)

Если индуктивность катушки остается постоянной, то и

. (20.28)

Ток в индуктивности спадает от некоторого значения I до нуля, поэтому вся работа за время исчезновения тока

. (20.29)

Именно такой энергией обладает магнитное поле катушки при прохождении по ней тока:

. (20.30)

Для идеального соленоида (катушки) , произведение дает напряженность поля соленоида, поэтому

. (20.31)

Поле идеального соленоида сосредоточено внутри соленоида, поэтому можно утверждать, что с магнитным полем связана энергия, распределенная в пространстве с плотностью

. (20.32)

Вихревое электрическое поле

Говоря о природе ЭДС индукции, мы связали ее возникновение с действием силы Лоренца на заряды в движущемся проводнике. Однако для покоящегося контура, расположенного в изменяющемся магнитном поле, такое объяснение является неприемлемым. Тем не менее, ЭДС индукции возникает!

Возникновение индукционного тока в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, связанном с изменением внешнего поля обусловлено действием неких сторонних сил, которые не связаны ни с химическими превращениями в контуре, ни с магнитными силами. Поэтому будем считать, что в рассматриваемом случае ток в контуре возникает за счет действия электрического поля с напряженностью . В замкнутом контуре циркуляция этого поля дает величину ЭДС индукции:

. (20.33)

Поскольку , можно утверждать, что

. (20.34)

Поскольку рассматриваемый контур предполагается неподвижным, дифференцирование по времени можно поменять местами:

. (20.35)

По теореме Стокса

. (20.36)

Поэтому

. (20.37)

Поверхность интегрирования произвольна, поэтому должны быть равны подынтегральные выражения:

. (20.38)

Итак, ротор поля оказался не равным нулю, в отличие от электростатического поля. Поэтому называют вихревым электрическим полем.

Одна из важнейших идей Максвелла заключалась в том, что он предположил, что изменяющееся во времени магнитное поле создает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле независимо от наличия в данной точке пространства про