Чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше наращенная сумма.

Достаточно обыденным является предоставление ссуды на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

· по схеме сложных процентов

· по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов – для дробной части года):

где - w – целое число лет

f – дробная часть года

Так как w означает целое число лет, а f - дробную часть года, то продолжительность ссуды n = w + f.

Возможны варианты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода предоставления ссуды не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

· схема сложных процентов:

 

· смешанная схема

 

,

где w – целое число подпериодов в n годах;

f – дробная часть подпериода

m – количество начислений в году

r – годовая процентная ставка.

 

Так в данном случае w означает целое число подпериодов в n годах, а f – дробную часть подпериода, поэтому n = (w + f)/m.

При использовании смешанной схемы наращенная сумма будет больше.

Уменьшая период начисления и увеличивая частоту начисления процентов, в пределе можно перейти к так называемым непрерывным процентам.

По определению непрерывных процентов, чем больше величина m (число m стремится к бесконечности), тем меньше временные промежутки между периодами начисления процентов (они стремятся к нулю).

В этом случае можно записать:

 

,

 

так как согласно второму замечательному пределу

, где е = 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Чтобы отличить непрерывную ставку от обычной (дискретной), вводят специальное обозначение непрерывной ставки – δ, и называют ее силой роста. Таким образом, формула для нахождения наращенной силы за n лет при непрерывном начислении процентов принимает вид:

S_n = P x e^δxn

Так как дискретные и непрерывные ставки функционально связанны друг с другом, то можно записать следующее равенство:

 

, откуда

 

Следовательно:

 

При ставках до 10% сила роста и годовая процентная ставка совпадает с точностью до 0,01, т.е. можно в этих пределах использовать приближенное равенство δ = r.

Расчет наращенной суммы при непрерывном начислении процентов подтверждает наличие прямой зависимости между частотой начисления процентов и наращенной суммой (чем больше частота, тем выше сумма), но с увеличением частоты начисления уменьшается темп прироста наращенной суммы.

 

 

ПРАКТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

 

Задание № 1