Т.2. Теоремы и методы расчета сложных резистивных цепей

1. Основные определения

 

Узлом электрической цепи (схемы) называется точка, в которой сходятся не менее трех ветвей.

Ветвью электрической цепи (схемы) называется участок, состоящий из последова­тельно включенных элементов, расположенных между двумя смеж­ными узлами.

Сложной называется электрическая цепь (схема), содержащая не менее двух узлов, не менее трех ветвей и не менее двух источников энергии в разных ветвях.

В сложной электрической цепи наблюдаются одновременно в той или иной мере раз­но­родные физические процессы, а именно, процесс генерирова­ния электрической энергии, процесс преобразования электрической энергии в другие виды и процесс обмена энергией между магнитным полем, электриче­ским полем и источниками энергии. В общем случае для отобра­жения этих фи­зических процессов схема замещения цепи должна содержать кроме источни­ков энергии (E, J) все разнородные схемные элементы (R, L, C). Математически фи­зические процессы в такой схеме можно описать системой дифференциаль­ных уравнений, составлен­ных для схемы замещения по законам Кирхгофа.

В стационарном режиме (в режиме постоянного тока) напряжение на ка­тушке равно нулю (), что соответствует короткому замыканию этого элемента, а при посто­янном напряжении ток в конденсаторе равен нулю (), что соответствует разрыву ветви с этим элементом. Следова­тельно, на установившийся режим постоянного тока схем­ные элементы L и C не оказывают влияния и могут быть исключены из схемы замещения (участки с L закорочены, а ветви с C удалены). Цепи постоянного тока представляются эк­ви­валентными схемами, содержащими только по­стоянные источники энергии E, J и резистив­ные элементы R. Такие схемы получили назва­ние резистивных или постоянного тока. Уста­новившийся режим постоянного или перемен­ного тока в таких схемах описывается систе­мой линейных алгебраических уравне­ний, со­ставленных по законам Кирхгофа.

В настоящей главе будут рассматриваться только резистивные цепи в режиме посто­ян­ного тока. В последующем рассмотренные в данной главе тео­ремы и методы расчета бу­дут распространены на цепи переменного тока в ус­тановившемся синусоидальном режиме.

2. Метод преобразования (свертки) схемы

 

Если схема электрической цепи содержит только один источник энергии (E или J), то пассивная часть схемы может быть преобразована (свернута) к одному эквивалентному эле­менту R _Э(рис. 7).

 

 

 

Свертка схемы начинается с самых удаленных от источника ветвей, про­водится в не­сколько этапов до достижения полной свертки. После полной свертки схемы по закону Ома определяется ток источника: . Токи в ос­тальных элементах исходной схемы находятся в процессе об­ратной развертки схемы. Такой метод расчета токов получил название метода последова­тельного преобразования (свертки) схемы.

При применении данного метода возможны следующие виды преобразо­ваний.

1) Последовательное преобразование заключается в замене нескольких элементов, включенных последовательно, одним эквивалентным (рис. 8).

Несложно доказать, что справедливы следующие соотношения:

и

 

2) Параллельное преобразование состоит в замене нескольких элемен­тов, вклю­чен­ных параллельно, одним эквивалентным (рис. 9).

 

 

Несложно доказать, что справедливы следующие соотношения:

и

Для двух элементов: и

3) Взаимное преобразование схем звезда-треугольник (рис. 4) возни­кает при свертке сложных схем.

Условием эквивалентности двух схем являются равенства для них токов (I ₁, I ₂, I ₃), на­пряжений (U ₁₂, U ₂₃, U ₃₁) и входных сопротивлений (R ₁₂, R ₂₃, R ₃₁) и соответственно входных проводимостей (G ₁₂, G ₂₃, G ₃₁).

Приравняем входные сопротивления для обеих схем со стороны двух произвольных ветвей при отключенной третей (рис. 10):

 

(1)

(2)

(3)

 

 

Сложим почленно уравнения (1) и (3) и вычтем из суммы уравнение (2), получим:

, по аналогии: , .

Приравняем входные проводимости для обеих схем со стороны произ­вольной вер­шины и двух других вершин, замкнутых накоротко (рис. 11):

(4)

(5)

(6)

 

 

Сложим почленно уравнения (4) и (5) и вычтем уравнение (6), получим:

, по аналогии: , .

В последних уравнениях заменим проводимости на соответствующие им сопротивле­ния , получим:

; ; .

При наличии полной симметрии соотношение между параметрами экви­валентных схем составляет: .

4) Замена параллельных ветвей эквивалентной ветвью (рис. 12) осу­ществляется со­гласно теореме об эквивалентном генераторе.

 

 

Напряжение холостого хода U _{xx aв} =E _Э определяется по методу двух уз­лов:

.

Эквивалентное входное сопротивление находится методом свертки схемы:

.

 

5) Перенос источника ЭДС через узел схемы: источник ЭДС Е можно перенести че­рез узел во все ветви, отходящие от узла (рис. 13а, б.).

 

 

6) Привязка источника тока к произвольному узлу согласно схеме(рис. 14а, б):

 

 

 

7) Взаимное преобразование схем с источником напряжения и систоч­ником тока согласно схеме(рис. 15а, б):

 

 

 

Схемы эквивалентны при равенстве для обеих напряжений U и токов I на на­грузке:

.

Сравнивая левые и правые части равенства, получим соотношения между парамет­рами эквивалентных схем:

.

 

Метод законов Кирхгофа

 

Теоретическая база метода: 1-й и 2-й законы Кирхгофа.

1-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей в узле схемы равна нулю ().

2-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в произ­вольном кон­туре схемы равна алгебраической сумме ЭДС ().

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме (рис. 16) и оп­ределить токи в ветвях, напряжения на отдельных элементах, мощности источников и при­емников энергии. Задана схема цепи и параметры ее отдельных элементов (E ₁, E ₂, J ₁, J ₁, J ₂, R ₁, R ₂, R ₃, R ₄, R ₅).

 

 

Анализируем структуру схемы: схема содержит n =3 (0, 1, 2) узлов и m =5 ветвей с не­определенными токами. В ветвях с источниками тока J токи оп­ре­делены источниками. Об­щее число уравнений должно быть равно числу опре­деляемых токов “ m ”.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Задаются (произвольно) положительными направлениями токов в вет­вях схемы (I ₁, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅).

2) Составляется (n -1) уравнений для узлов по первому закону Кирхгофа. Уравнение для последнего n -го узла является зависимым (оно может быть по­лучено путем сложения первых (n -1) уравнений).

3) Не­достающие m -(n -1) уравнений составляются по 2-му закону Кирх­гофа. Пра­вило выбора контуров для составления уравнений: каждый после­дующий контур должен включать в себя хотя бы одну новую ветвь, не охвачен­ную предыдущими уравнениями. Число неза­висимых контуров для схемы лю­бой сложности не может быть больше числа m -(n -1).

Ниже приведена система уравнений Кирхгофа для схемы рис. 16, состоя­щая из m =5 уравнений, из которых n -1=2 составлены для узлов 1 и 2 по 1-му закону Кирхгофа и m -(n -1)=3 составлены для контуров К₁, К₂, К₃ по 2-му за­кону Кирхгофа:

- узел 1,

- узел 2,

- контур К₁,

- контур К₂,

- контур К₃.

 

4) Система уравнений приводится к матричной форме, составляются мат­рицы ко­эф­фициентов:

;

5) Система уравнений решается на ЭВМ по стандартной программе для решения ли­нейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициен­тами (SU1), в резуль­тате чего определяются неизвестные токи I ₁, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅. От­рицательные результаты, по­лучаемые для некоторых токов, означают, что их действительные (физические) направ­ления не соот­ветствуют направлениям, принятым в начале расчета.

6) Определяются напряжения на отдельных элементах схемы (), мощно­сти источников ЭДС (),источников тока () и прием­ников (). При этом мощности приемников энергии всегда положи­тельны, а мощности источников энергии могут быть отрицательными, если со­множители в произведениях и не совпадают по направлению.

4. Метод контурных токов

 

Теоретическая база метода контурных токов – 2-ой закон Кирхгофа в со­четании с принципом наложения. Предполагают, что в каждом элементарном контуре-ячейке схемы протекает «свой» контурный ток I_k, а действительные токи ветвей получаются по принципу наложения контурных токов как их ал­гебраические суммы. В качестве неизвестных величин, подлежащих определе­нию, в данном методе выступают контурные токи. Общее число неиз­вестных составляет m -(n -1).

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 11. Пара­метры отдельных элементов схемы заданы.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Задаются (произвольно) положительными направлениями контурных токов в кон­турах-ячейках схемы(I_{к 1}, I_{к 2}, I_{к 3} ). Контуры-ячейки следует выби­рать так, чтобы они не включали в себя ветви с источниками тока. Ветви с ис­точниками тока J образуют свои кон­туры с заданными токами (J ₁, J ₂).

2) Составляются m -(n -1) уравнений по 2-му закону Кирхгофа для вы­бранных конту­ров-ячеек с контурными токами I_{к 1}, I_{к 2}, I_{к 3}. В уравнениях учиты­ваются падения напряжений как от собственного контурного тока, так и от смежных контурных токов.

 

Ниже приведена система контурных уравнений для схемы рис. 17:

В обобщенной форме система контурных уравнений имеет вид:

 

Здесь введены следующие обозначения:

R ₁₁= R ₁ + R ₄; R ₂₂ = R ₂ + R ₅ и т. д. – собственные сопротивления контуров, равные сумме сопротивлений всех элементов контура;

R ₁₂ = R ₂₁ = 0; R ₂₃ = R ₃₂ = - R ₅ и т. д. – взаимные сопротивления между двумя смежными контурами, они положительны – если контурные токи в ветви совпадают, и отрицательны – если контурные токи в ветви направлены встречно, всегда отрицательны – если все контур­ные токи ориентированы оди­наково (например, по часовой стрелке), равны нулю – если кон­туры не имеют общей ветви;

E ₁₁ = E ₁ + J ₁ R ₄, E ₂₂ = - E ₂, E ₃₃ = - E ₃ + J ₂ R ₃ и т. д. – контурные ЭДС, равные алгебраиче­ской сумме слагаемых E _nn = S E + S JR от всех источников контура.

Система контурных уравнений в матричной форме:

или в сокращенно ,

где - матрица контурных сопротивлений, - матрица контурных токов, - мат­рица контурных ЭДС.

3) Система контурных уравнений решается на ЭВМ по стандартной про­грамме для решения систем линейных алгебраических уравнений с веществен­ными коэффициентами (SU1), в результате чего определяются неизвестные контурные токи I_{к 1}, I_{к 2}, I_{к 3}.

4) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы (рис. 1) (I ₁, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅). Токи ветвей определяются по принципу наложе­ния как алгебраические суммы контурных токов, протекающих в данной ветви.

I ₁ = I_{к 1} - J ₁; I ₂ = - I_{к 2}; I ₃ = - I_{к 3} – J ₂; I ₄ = I_{к 1} – I_{k 3}; I ₅ = - I_{к 2} + I_{k 3} .

5) При необходимости определяются напряжения на отдельных элемен­тах (U_k = I_kR_k), мощности источников энергии (P_Ek = E_kI_k, P_Jk = U_k J_k) и приемни­ков энергии (P_k = I_k ² × R_k).

 

5. Метод узловых потенциалов

 

Теоретическая база метода узловых потенциалов – 1-ый закон Кирхгофа в сочетании с потенциальными уравнениями ветвей. В этом методе потенциал одного из узлов схемы при­нимают равным нулю, а потенциалы остальных (n -1) узлов считают неизвестными, подле­жащими определению. Общее число неиз­вестных составляет (n -1).

Рассмотрим обобщенную ветвь некоторой сложной схемы (рис. 18).

 

Свяжем потенциалы концов ветви (узлов) между собой через падения напряжений на отдельных участках:

или

Уравнение, связывающее потенциалы конечных точек ветви через паде­ния напряже­ний на ее отдельных участках, называется потенциальным уравне­нием ветви.

Из потенциального уравнения ветви могут быть определены ток ветви и напряжение на резисторе:

, .

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 19. Пара­метры отдельных элементов схемы заданы.

Принимаем потенциал узла 0 равным нулю (j ₀ = 0), а потенциалы узлов 1 и 2 (j ₁ и j ₂) будем считать неизвестными, подлежащими определению.

Зададимся положительными направлениями токов в ветвях схемы I ₁, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅. Со­ставим потенциальные уравнения ветвей и выразим из них токи ветвей:

I ₁ = (j ₁ – j ₀ + E ₁ )/ R ₁

I ₂ = (j ₂ – j ₀ + E ₂ )/ R ₂

I ₃ = (j ₁ – j ₀ + E ₃ )/ R ₃

I ₄ = (j ₀ – j ₁ )/ R ₄

I ₅ = (j ₀ - j ₂ )/ R ₅

 

 

Составим (n -1) уравнение по 1-му закону Кирхгофа для узлов 1 и 2:

- I ₁ – I ₃ + I ₄ – J ₁ – J ₂ = 0

- I ₂ + I ₃ + I ₅ + J ₂ =0

Подставим значения токов из потенциальных уравнений в уравнения 1-го закона Кирхгофа. После приведения коэффициентов получим систему узловых уравнений:

В обобщенной форме система узловых уравнений имеет вид:

 

Здесь введены следующие обозначения:

G ₁₁ =1/ R ₁ +1/ R ₃ +1/R₄; G ₂₂ =1/ R ₂ +1/ R ₃ +1/ R ₅ и т.д. – собственные прово­димости узлов, равные суммам проводимостей всех ветвей, сходящихся в дан­ном узле, всегда положи­тельны;

G ₁₂ = G ₂₁ = 1/ R ₃; G_nm = G_{m n}– взаимные проводимости между смежными узлами (1 и 2, m и n), равные сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы, всегда отрицательны;

J ₁₁ = - E ₁ / R ₃ – E ₃ / R ₃ – J ₁; J ₁₁ =- E ₂ / R ₂ – E ₃ / R ₃ + J ₁ и т.д. – узловые токи уз­лов, равные алгебраической сумме слагаемых E/R и J от всех ветвей, сходя­щихся в узле (знак ”+”, если источник действует к узлу, и знак “-”, если источ­ник действует от узла).

Система узловых уравнений в матричной форме:

или сокращенно ,

где - матрица узловых проводимостей, - матрица узловых по­тенциа­лов, - матрица узловых токов.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Принимают потенциал одного из узлов схемы равным нулю, а потен­циалы осталь­ных (n -1) узла считают неизвестными, подлежащими определе­нию.

2) Руководствуясь обобщенной формой, составляют (n -1) уравнение для узлов с неиз­вестными потенциалами.

3) Определяются коэффициенты узловых уравнений и составляются их матрицы.

4) Система узловых уравнений решается на ЭВМ по стандартной про­грамме для ре­шения систем линейных алгебраических уравнений с веществен­ными коэффициентами (SU1), в результате чего определяются неизвестные по­тенциалы узлов j ₁, j ₂, …

5) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы I ₁, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅. Токи ветвей определяются из потенциальных уравнений ветвей через потенциалы узлов j ₁, j ₂, ….

6) При необходимости определяются напряжения на отдельных элемен­тах (U_k = I_kR_k), мощности источников энергии (P_Ek = E_kI_k, P_Jk = U_k J_k) и приемни­ков энергии (P_k = I_k ² × R_k).

 

 

6. Метод двух узлов

 

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов при числе узлов в схеме n = 2 (рис. 20).

 

 

 

Принимаем j ₀ = 0, тогда уравнение для узла 1 по методу узловых потен­циалов будет иметь вид: j ₁ G ₁₁ = J ₁₁, откуда следует непосредственное опреде­ление напряжения между уз­лами схемы:

- уравнение метода двух узлов.

Применительно к схеме рис. 20 данное уравнение примет конкретную форму:

7. Принцип наложения. Метод наложения

Принцип (теорема) наложения гласит, что ток в любой ветви (напряжение на любом элементе) сложной схемы, содержащей несколько источников, равен алгебраической сумме частичных токов (напряжений), возникающих в этой ветви (на этом элементе) от независи­мого действия каждого источника в от­дельности.

Для упрощения доказательства теоремы выберем одну из наружных вет­вей сложной схемы за номером 1, в которой действительный ток равен контур­ному: I ₁ = I_{k 1}. Составим для сложной схемы систему контурных уравнений и решим ее относительно тока I ₁ = I_{k 1} методом определителей (Крамера):

Здесь G ₁₁ –входная проводимость ветви 1, G ₁₂, G ₁₃, …, G _1n– взаимные проводимости между 1-й и остальными ветвями, I ₁₁ = E ₁ G ₁₁ – частичный ток в ветви 1 от источника ЭДС E ₁, I ₁₂ = E ₂ G _{12, …,} I _1n = E _n G _1n – частичные токи в ветви 1 от источников ЭДС E ₂,…, E_n.

Принцип наложения выполняется только для тех физических величин, которые опи­сываются линейными алгебраическими уравнениями, например, для токов и напряжений в линейных цепях. Принцип наложения не выполня­ется для мощности, которая с током связана нелинейным уравнением P=I ² ×R.

Принцип наложения лежит в основе метода расчета сложных цепей, по­лучившего на­звание метода наложения. Сущность этого метода состоит в том, что в сложной схеме с не­сколькими источниками последовательно рассчиты­ваются частичные токи от каждого источ­ника в отдельности. Расчет частичных токов выполняют, как правило, методом преобразова­ния схемы. Действитель­ные токи определяются путем алгебраического сложения частичных токов с учетом их направлений.

E 1 E 2

Пример. Задана схема цепи (рис. 21) и параметры ее элементов: E ₁ =12 B; E ₂ =9 B; R ₁= R ₂ = R ₃ = 2 Ом. Требуется определить токи в ветвях схемы методом наложения.

 

 

 

 

На рис. 22а представлена схема цепи для определения частичных токов от источника ЭДС Е ₁, а на рис. 22б - от источника ЭДС Е ₂.

 

Частичные токи в схеме рис. 22а от E₁:

Ом; I ₁₁ = E ₁ /R ₁₁ = 12/3 = 4A; I ₂₁ = I ₃₁ = 2А.

Частичные токи в схеме рис. 22б от E₂:

Ом; I ₂₂ = E ₂ /R ₂₂ = 9/3 = 3A; I ₁₂ = I ₃₂ = 1,5А.

Действительные токи как алгебраические суммы частичных токов:

I ₁ = I ₁₁ - I ₁₂ = 4 – 1,5 = 2,5 A

I ₂ = - I ₂₁ + I ₂₂ = -2 + 3 =1 A

I ₃ = I ₃₁+ I₃₂ = 2 + 1,5 =3,5 A

8. Теорема о взаимности

 

Выделим из сложной схемы две произвольные ветви “ m ” и “ n ”, в одной из которых включен источник ЭДС E (в ветви m). Теорема о взаимности гласит, что если источник ЭДС E, включенный в ветви “ m ”, вызывает в ветви “ n ” час­тичный ток I, то такой же источник ЭДС E, включенный в ветвь “ n ”, вызовет в ветви “ m ” такой же частичный ток I (рис.23).

 

 

Доказательство теоремы о взаимности вытекает из принципа наложения. Частичные токи равны:

— для схемы рис. 23а, — для схемы рис. 23б.

Так как взаимные проводимости в линейной цепи равны (G_mn=G_nm), то соответственно равны токи в обеих схемах.

 

Теорема о компенсации

Формулировка теоремы: любой пассивный элемент электрической схемы можно заменить а) идеальным источником напряжения с ЭДС, равной напряжению на этом элементе (E = U) и направленной навстречу току, б) иде­альным источником тока J, равным току в этом элементе (J = I) и направленным согласно току I.

 

 

Выделим пассивный элемент R_k с током I_k и напряжением U_k из схемы цепи (рис. 24а). Для доказательства п. а) теоремы включим последовательно с элементом R_k навстречу друг другу два идеальных источника ЭДС (рис. 24б). Такое включение источников ЭДС не вызовет изменения режима сложной схемы, так как их действие взаимно компенсируется. Cоставим потен­циальное уравнение между точками “a” и “d”:

, откуда следует , или .

Точки “ a ” и “ d ”, как точки равного потенциала, можно закоротить и за­короченный участок “ a-d ” из схемы удалить без нарушения ее режима. В ре­зультате удаления закороченного участка схема получает вид рис. 24в, в кото­рой пассивный элемент R_k заменен идеальным источником ЭДС .

 

 

Для доказательства п. б) теоремы включим параллельно с элементом R_k два идеальных источника тока , направленные навстречу друг другу (рис. 25б).

Такое включение источников тока не вызовет изменения режима сложной схемы, так как их действия взаимно компенсируются. С другой сто­роны ток в ветви “ a-c ” равен нулю (, и эту ветвь можно отклю­чить без нарушения режима остальной части схемы. В результате отключения схема получает вид рис. 25в, в которой пассивный элемент R_k заменен идеаль­ным источником тока J_k=I_k.

 

10. Теорема о линейных отношениях

 

Формулировка теоремы: если в произвольной к -ой ветви сложной схемы изменяется ЭДС источника E_k или сопротивление резистора R_k, то пара­метры режима в двух других ветвях (например, 1 и 2, I ₁ и I ₂, U ₁ и U ₂, U ₁ и I ₂, I ₁ и U ₂ ) изменяются так, что между ними сохраняется линейная зависимость ( и т.д.).

Пусть изменяется ЭДС E_к. В соответствии с принципом наложения ток каждой ветви равен сумме частичных токов от каждого источника в отдельно­сти:

Исключим из уравнений переменную величину E _к путем подстановки:

, что требовалось дока­зать.

Если в схеме изменяется сопротивление резистора , то для дока­зательства теоремы о линейных отношениях переменный резистор сле­дует заменить в соответствии с теоремой о компенсации переменной ЭДС и повторить доказательство.