Задача про заміну устаткування без урахування залишкової вартості устаткування

Постановка задачі. Нехай r(t) - вартість продукції, виробленої за рік на одиниці устаткування, вік котрого t років; L(t) – щорічні витрати на обслуговування цього устаткування; S(t)=0 – залишкова вартість устаткування; Р=11грош. один. – вартість нового обладнання. Уведемо функцію φ(t)=R(t)-L(t), різниця між вартістю виготовленої продукції та експлуатаційних витрат. Значення функціі φ(t) за роками наведені у таблиці 10.

Таблиця 10

Значення функції φ(t) за роками

t
φ(t)

 

Визначити оптимальний цикл заміни устаткування за період часу тривалістю шість років, причому за ці роки прибуток f₆(t), повинен бути максимальним.

Розв΄язок. Функціональне рівняння Беллмана:

прибуток .

Умови заміни:

;

.

Усі обчислення проведемо за формулами для різних N=1,…..,6:

;

;

;

;

;

.

Результати обчисленнь проведемо в таблиці 11.

Таблиця 11

Результати обчислень значень функції .

							---
							---

Висновки. Якщо спочатку обладнання нове (), то за шість років роботи прибуток складе 63 грошові одиниці. Причому заміна обладнання не виконується.

Задача про заміну устаткування з урахуванням залишкової вартості устаткування

Постановка задачі. Нехай r(t) – вартість продукції, виробленої за рік на одиниці устаткування, вік котрого t років; L(t) – щорічні витрати на обслуговування цього устаткування; S(t) – залишкова вартість устаткування; Р(t) – вартість нового обладнання.

Уведемо функцію φ(t)=R(t)-L(t) – різниця між вартістю виготовленої продукції та експлуатаційних витрат. Значення функції φ(t) за роками наведені у таблиці 11.

Нехай S=Р(t)-S(t)=40 грош. один..

Таблиця 11

Значення функціі φ(t) за роками

t
φ(t)

 

Визначити оптимальний цикл заміни устаткування за період часу тривалістю сім років, причому за ці рокиприбуток f₇(t), повинний бути максимальний.

Розв΄язок. Нехай f_n(t) – максимальний прибуток за N етапів експлуатації устаткування, якщо устаткуванню t років.

Зв'язок років і етапів поданий у вигляді:

 

Тоді функціональні рівняння Беллмана мають вигляд:

,

N=1,…,7.

Усі обчислення робимо в таблиці 12 для різних N:

N=1, ;

N=2, ;

N=3, ;

і так далі.

Таблиця 12

Результати обчислень значень функції .

t
f1(t)
f2(t)									20+55
f3(t)									20+90
f4(t)									20+130
f5(t)									20+165
f6(t)									20+205
f7(t)									20+240

 

Висновки. За сім років при використанні в перший рік нового обладнання (t=0) максимальний прибуток становитиме f₇(0)=300 грош. один.. При цьому наприкінці третього року треба поміняти устаткування, а потім – провести заміну наприкінці п'ятого року роботи устаткування.