Введение негеометрических свойств в алгебраические уравнения

Для практики бывает интересно не только описать какую-либо сложную поверхность, но и задать для нее различные дополнительные свойства. В качестве свойств можно задавать цвет, плотность, вязкость и т.п. физические свойства в любой точке поверхности и сохранять непрерывность изменения свойств по всей поверхности.

Функциональные зависимости между геометрической формой и другими свойствами могут быть:

- Линейные;

- Квадратичные;

- Любые, в том числе трансцендентные;

- Алгебраические высших порядков.

Простейшая квадратичная зависимость, например, цвета (или другого свойства) может быть введена в уравнение второго порядка 4-ой переменной (с):

Для нахождения геометрической формы поверхности задаем с = 0 и решаем уравнение с тремя переменными (x, y, z).

Для нахождения значения цвета надо сгруппировать члены при переменной с, считая переменные (x, y, z) константами.

Для каждой точки поверхности, задавая числовые значения координат точки, получаем значение, которое преобразуем в номер цвета. Окраска эллипсоида с квадратичной зависимостью показана на рис.1.29.

Раскраска поверхности 2-го порядка с применением трансцендентной функции цвета

показана на рис.1.30.

На рис.1.31 показана поверхность 4-го порядка, раскрашенная с помощью функции градиентного шума.

 

 

Рис. 1.29 Рис. 1.30 Рис. 1.31

Добавление одной переменной в алгебраическое уравнение позволяет делать запись какого–либо свойства поверхности, например, цвета при незначительном увеличении объема записи.

При повышении степени число членов уравнения возрастает в лексографическом порядке.

Увеличение числа переменных дает увеличение числа коэффициентов, зависящее от общего числа коэффициентов до добавления, и растет по мере повышения степени, но не более чем в два раза (таблица.1.4).

Таблица 1.4

Степень алгебраического уравнения	Количество коэффициентов	Коэффициент увеличения числа членов уравнения
3 переменных	4 переменных
			1,2500
			1,5000
			1,6500
			1,6857
			1,7142
			1,7380
			1,7583
			1,7757
			1,7909
			1,8041

 

Кинематическая модель – описание графического объекта кинематическим способом с использованием уравнений образующих и направляющих линий. Некоторые кинематические модели называют твердотельными.

При кинематическом способе образования – поверхность рассматривается как непрерывная совокупность последовательных положений некоторых линий, перемещающихся в пространстве по определенному закону. Эта линия, называемая образующей, может оставаться неизменной или менять форму. Закон перемещения образующей определяют путем задания семейства некоторых линий (направляющих), по которым скользит образующая. Кроме направляющих (их может быть одна, две или более) могут быть заданы дополнительные условия, уточняющие закон перемещения образующей.

Пусть поверхность образована путем перемещения образующей линии а по направляющим линиям m и n, все время, оставаясь параллельной некоторой плоскости а, называемой плоскостью параллелизма.

Точка, принадлежащая поверхности, будет располагаться на образующей, что позволяет однозначно ответить – принадлежит ли точка пространства данной поверхности или нет. Совокупность элементов поверхности, которая позволяет построить любую точку этой поверхности, называется определителем поверхности. Чаще всего определитель поверхности состоит из проекций образующей и направляющих. Для получения наглядности изображения поверхности на эпюре принято показывать ее очерк, полностью или частично, на плоскостях проекций. Под очерком поверхности понимается линия, ограничивающая контур видимой части поверхности при проецировании этой поверхности на некоторую плоскость. В зависимости от вида образующей выделяют поверхности:

- линейчатые – полученные движением прямолинейной образующей (цилиндрическая, коническая поверхности и др.);

- нелинейчатые – полученные движением криволинейной образующей (сфера, параболоид и др.)

В зависимости от закона движения образующей различают:

- поверхности вращения (образующая поверхность вращается вокруг некоторой оси: круговые, цилиндрические и конические поверхности, сфера, тор и др.);

- винтовые поверхности (образующая совершает винтовое движение: поверхности винтов, шнеков и др.)

- поверхности торсов (образующая перемещается, оставаясь касательной к некоторой пространственной кривой)

- поверхности с плоскостями параллелизма (образующая перемещается, оставаясь все время параллельной некоторой плоскости, называемой плоскостью параллелизма: поверхность цилиндроида, коноида и др.)

К важным свойствам поверхности следует отнести возможность или невозможность развертывания ее в плоскость. В зависимости от этого различают поверхности развертывающиеся, т.е. совмещающиеся с плоскостью всеми своими точками без разрывов и складок, и поверхности неразвертывающиеся. К первым относятся линейчатые поверхности: цилиндрические, призматические, конические, пирамидальные и торсовые.

Для формирования описания нелинейчатых поверхностей в качестве образующей линии конструируют составную кривую – обвод.

Обводом называется линия, составленная из дуг кривых выбранного вида, которые в стыковых точках имеют определенный порядок соприкосновения.

В инженерной практике в качестве составляющих обводов обычно используют отрезки прямых, дуги кривых второго и третьего порядка. Порядок соприкосновения составляющих в стыковых точках определяет порядок гладкости обвода. Если смежные составляющие имеют в стыковых точках общие касательные, то составная линия называется обводом первого порядка гладкости. Составная линия представляет собой обвод второго порядка гладкости, если график изменения кривизны по ее длине будет непрерывным. С этих позиций ломаная линия представляет собой обвод нулевого порядка гладкости.

Разработано множество способов конструирования обводов. Рассмотрим два из них, которые отличается простотой, и получили широкое применение.

Радиусографический способ

Через упорядоченный массив точек Aⁱ (i = 1,2 ,..., n) проводится обвод первого порядка гладкости (рассматривается плоский пример), составленный из дуг окружностей (рис.1.32).

 

 

 

Рис. 1.32

Построение составляющих обвода основано на простых свойствах окружностей. Первая составляющая m ¹ однозначно определяется первыми тремя точками A ¹, A ², A ³. Центр O ¹ окружности m ¹ строится как точка пересечения перпендикуляров p ¹, p ², восстановленных из середин C ¹, C ² ее хорд A ¹ A ², A ² A ³.

Вторая и последующие составляющие m ², m ³ ,... определяются двумя точками и касательной, построенной к предыдущей составляющей в стыковой точке. Центр O ² второй составляющей m ² определяется как точка пересечения прямой O ¹ A ³, соединяющей центр O ¹ предыдущей окружности со стыковой точкой A ³, с перпендикуляром p ³, восстановленным из середины C ³ хорды A ³ A ⁴. Аналогично строятся все последующие составляющие m^j (j = 1, 2,..., n- 2 ).