Способ кривых второго порядка

Этот способ имеет ряд модификаций. Ниже описан алгоритм построения точек обвода, заданного упорядоченным массивом точек Aⁱ (i = 1, 2,..., n) и положениями касательных tⁱ в этих точках (рис.1.33).

 

 

 

 

Рис. 1.33

Как известно, кривая второго порядка однозначно определяется заданием пяти точек. Это следует из того, что ее уравнение в декартовых координатах имеет вид

Подставив в это уравнение последовательно координаты пяти точек, получаем пять линейных уравнений с пятью неизвестными . Решение полученной системы уравнений определяет значения коэффициентов в приведенном уравнении.

На практике обычно кривую второго порядка задают тремя точками и касательными в двух точках или двумя точками A ¹, A ², касательными t ¹, t ² в этих точках и так называемым инженерным дискриминантом d = [BC]:[TC], где T – точка пересечения касательных t ¹, t ², построенных в точках A ¹, A ² кривой второго порядка m ¹; TC – медиана треугольника A ¹ TA ². Если d < 0.5, то m ¹ будет дугой эллипса, при d = 0.5 – дугой параболы, при d > 0.5 – дугой гиперболы. Таким образом, выбирая значение инженерного дискриминанта d, управляют формой кривой второго порядка.

Построение обвода первого порядка гладкости из дуг кривых второго порядка начинают с выбора значений инженерного дискриминанта d для каждой составляющей, исходя из визуальной оценки данного массива точек и касательных, обеспечения требуемой формы конструируемого обвода. После этого для каждой составляющей m ¹ обвода по известному значению дискриминанта dⁱ строится третья точка B, которая вместе с точками Aⁱ, A^{i+ 1} и касательными tⁱ, t^{i+ 1} однозначно ее определяет. Этих данных достаточно для вычисления коэффициентов уравнения, описывающего составляющую mⁱ обвода, или для графического построения множества точек составляющей mⁱ, которые строятся последовательно (рис.1.33):

- на первом этапе строятся точка B и касательная t, параллельная хорде A ¹ A ²;

- на втором этапе по аналогии с алгоритмом построения точки B строятся относительно треугольников A ¹ T`B и BT``A <sup>2</sup> точки B`, B`` и касательные t`, t``;

- эти точки и касательные порождают четыре новых треугольника, относительно которых строятся четыре новые точки составляющей m ¹.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено достаточное число точек каждой составляющей mⁱ конструируемого обвода.

Используя вышеизложенные кинематические способы, возможно описание поверхностей путем формирования параметрических моделей.

Рассмотрим параметрические модели поверхностей 2-го порядка. Реализация модели заключается в том, что при последовательном переборе одной из координат (z) реализуется система уравнений, в которой будут определены две другие координаты (x и y). При этом значение одной из этих двух величин будут вычислены для нулевого значения второй. Таким образом, будем получать x в зависимости от z при y равном нулю и, соответственно, y от z при нулевом x.

Кинематическая модель сферы (эллипсоида)

Модель представлена системой уравнений

x = Ö(a ²- z ²) ´ sin (80z),

y = Ö(b ²- z ²) ´ cos (80z),

z = - N, …, N.

где a и b – размеры эллипсоида по осям x и y соответственно, N – некоторое численное значение по оси z, которым ограничивается эллипсоид. Задавая значения N можно формировать как полную, так и часть поверхности. При равенстве a и b будет сфера, при неравных значениях будет эллипсоид.

Поверхность образуется пространственной линией при движении по оси z с определенным шагом. На рис.1.34 намеренно взят большой шаг для того, чтобы показать механизм построения.

На рис.1.35 слева показана сфера, в которой множитель перед z равен 160; справа изображена та же фигура, но она значительно уплотнилась за счет того, что вышеупомянутый множитель приравнен 4000.

Рис. 1.34 Рис. 1.35