Алгебраическое уравнение второго порядка общего вида

В общем виде алгебраическое уравнение 2-го порядка описывает поверхность 2-го порядка, размещенную в любой точке пространства, произвольно ориентированной в прямоугольной системе координат и имеющую определенный размер.

Если расположить центр симметрии поверхности 2-го порядка в начале системы координат и оси симметрии будут совпадать с осями системы координат, в этом случае отдельные коэффициенты алгебраического уравнения 2-го порядка будут иметь значения –1, 0, 1 и такое уравнение называется приведенным. Комбинируя значения коэффициентов (–1, 0, 1), имеем 7 типов поверхностей:

1. Пара плоскостей;

2. Сферические поверхности;

3. Цилиндрические поверхности;

4. Конические поверхности;

5. Гиперболические поверхности;

6. Параболические поверхности;

7. Мнимые поверхности.

 

Любые комбинации значений формообразующих коэффициентов алгебраического уравнения 2-го порядка дают 28 подтипов (инвариантов) различных поверхностей 2-го порядка. Среди этих поверхностей есть мнимые поверхности, когда алгебраические уравнения не имеют действительных решений для поверхности.

Взаимное положение двух поверхностей 2-го порядка в пространстве имеет три случая: касание, пересечение и отсутствие касания и пересечения.

В первом случае решение системы двух уравнений 2-го порядка единственное (одна общая точка), во втором случае – множество решений (общих точек, лежащих на кривой линии от 2-го до 4-го порядка), в третьем случае – отсутствие решения (общих точек).

Алгебраические уравнения, начиная с 3-го порядка, принято называть уравнениями высшего порядка. Это связано с тем, что уравнения 1-го и 2-го порядка имеют аналитические решения, а уравнения высших порядков имеют только частные решения в радикалах и в общем случае требуют применения численных методов решений.

С повышением порядка алгебраического уравнения растет число его членов. В таблице 1.2 показано число членов алгебраического уравнения общего вида по 10-ый порядок. С возрастанием порядка алгебраического уравнения возрастает многообразие и сложность геометрической конфигурации поверхностей. Примеры поверхностей даны в приложении 1.

Таблица 1.2

Степень алгебраического уравнения
Количество коэффициентов уравнения

 

Алгебраические уравнения общего вида любого порядка с тремя переменными (x, y, z) в прямоугольной пространственной системе координат содержат информацию о свойствах поверхности: о геометрической форме поверхности, ее размерах, об ее ориентации и местоположении в пространстве. Эту информацию определяют коэффициенты алгебраического уравнения.

Следует отметить, что произвольное изменение значения одного любого коэффициента уравнения для поверхностей выше 1-го порядка в общем случае приводит к изменению кривизны поверхности.

Классификация алгебраических поверхностей

Вообще многообразие алгебраических поверхностей бесконечно, но для каждой степени уравнения можно определить число оригинальных форм (типов) и подобных форм (подтипов), которые будут отличаться друг от друга либо общими пропорциональными размерами, либо отношением размеров по отдельным осям прямоугольной системы координат. Типы описываются приведенными уравнениями, когда формообразующие коэффициенты алгебраического уравнения содержат комбинации значений только –1, 0, 1. Подтипы образуются путем задания различных отношений численных значений коэффициентов при переменных уравнения.

Путем произвольного задания значений коэффициентов алгебраического уравнения любого порядка можно получать фантастические формы (см. Приложение 1), однако таким путем можно попасть в область мнимых поверхностей. Поэтому необходимо создавать библиотеки типов реальных поверхностей для каждого порядка уравнений. Число типов и подтипов поверхностей любого порядка может быть определено с помощью теории инвариантов (определителей высших порядков) и доказано, что оно конечно. Отметим, что это число резко возрастает по мере увеличения порядка уравнения. Так как эти поверхности рассматриваются в прямоугольной системе координат, то они имеют определенную симметрию относительно осей прямоугольной системы координат.