Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку , (8.24) де і – деякі числа. Теорема 8.3. Частинний розв'язок диференціального рівняння (8.24) має вигляд , де число – корінь рівняння . Доведення. Покажемо, що функція за зазначених умов задовольняє рівняння (8.24). Для даної функції , . Підставивши у рівняння (8.24), одержимо . Отриманий вираз може мати нульове значення тільки при , що вказує на те, що число є коренем квадратного рівняння, яке будемо називати характеристичним. Всі коефіцієнти характеристичного рівняння є відповідними коефіцієнтами диференціального рівняння. Теорема 8.4. Якщо корені характеристичного рівняння: 1) дійсні і різні , то загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд ; (8.25) 2) дійсні і рівні , то загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд ; (8.26) 3) комплексно спряжені (, , ), то загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд . (8.27) 1. Нехай корені характеристичного рівняння дійсні і різні: . Тоді за теоремою (8.3) частинними розв'язками диференціального рівняння (8.24) є функції , . Ці розв'язки лінійно незалежні, оскільки . Отже, згідно з теоремою (8.2) можна сконструювати загальний розв'язок диференціального рівняння (8.24) . 2. Нехай корені характеристичного рівняння дійсні і рівні (), що можливо, якщо дискримінант квадратного рівняння . При цьому, розв’язуючи характеристичне рівняння, одержуємо . За теоремою (8.3) один частинний розв'язок рівняння має вигляд . Інший частинний розв'язок повинен бути лінійно незалежним від першого. Покажемо, що таким розв'язком може бути функція . Покажемо, що вона задовольняє рівняння (8.24). Знайдемо першу і другу похідні цієї функції , . Підставимо , , , у диференціальне рівняння (8.24) і після перетворень одержимо , оскільки за умовою дискримінант характеристичного рівняння . Отже, функція є частинним розв'язком рівняння (8.24). Так загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд . 3. Нехай корені характеристичного рівняння комплексно спряжені: де . Тоді за теоремою (8.3) частинні розв'язки рівняння (8.24) . Застосовуючи формулу Ейлера, вираз запишемо у вигляді . При цьому частинні розв'язки рівняння (8.24) приймають вигляд або . Отримані функції є частинними розв'язками рівняння (8.24), але містять у собі уявну одиницю . Неважко показати, що якщо функція є розв'язком рівняння (8.24), то окремо функції і також є його розв'язками. Тому приймемо за перший частинний розв'язок функцію , за другий частинний розв'язок . Очевидно, що ці функції лінійно незалежні, тому в такому випадку загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд
або . Приклад 8.10. Знайти частинний розв'язок рівняння , якщо відомо, що , . Розв’язання. Тут характеристичне рівняння має вигляд і його корені , дійсні і різні, тому, застосовуючи формулу (8.25) загальний розв'язок рівняння запишемо у вигляді . Після диференціювання загального розв'язку, одержимо . Підставляючи в початкові умови , , , одержимо систему рівнянь Звідки знайдемо, що , . Отже, частинний розв'язок, що задовольняє зазначеним початковим умовам, має вигляд . Приклад 8.11. Знайти загальний розв'язок рівняння . Розв’язання. Тут характеристичне рівняння має корені , отже, за формулою (8.26) загальний розв'язок рівняння має вигляд . Приклад 8.12. Знайти загальний розв'язок рівняння . Розв’язання. Характеристичне рівняння даного диференціального рівняння має вигляд . Його дискримінант , а . Корені рівняння є комплексно спряженими. Тут , . За формулою (8.27) загальний розв'язок рівняння буде .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; просмотров: 351; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.28.65 (0.012 с.) |