Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку

, (8.24)

де і – деякі числа.

Теорема 8.3. Частинний розв'язок диференціального рівняння (8.24) має вигляд , де число – корінь рівняння

.

Доведення. Покажемо, що функція за зазначених умов задовольняє рівняння (8.24). Для даної функції , . Підставивши у рівняння (8.24), одержимо

.

Отриманий вираз може мати нульове значення тільки при , що вказує на те, що число є коренем квадратного рівняння, яке будемо називати характеристичним.

Всі коефіцієнти характеристичного рівняння є відповідними коефіцієнтами диференціального рівняння.

Теорема 8.4. Якщо корені характеристичного рівняння:

1) дійсні і різні , то загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд

; (8.25)

2) дійсні і рівні , то загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд

; (8.26)

3) комплексно спряжені (, , ), то загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд

. (8.27)

1. Нехай корені характеристичного рівняння дійсні і різні: . Тоді за теоремою (8.3) частинними розв'язками диференціального рівняння (8.24) є функції , . Ці розв'язки лінійно незалежні, оскільки

.

Отже, згідно з теоремою (8.2) можна сконструювати загальний розв'язок диференціального рівняння (8.24)

.

2. Нехай корені характеристичного рівняння дійсні і рівні (), що можливо, якщо дискримінант квадратного рівняння . При цьому, розв’язуючи характеристичне рівняння, одержуємо .

За теоремою (8.3) один частинний розв'язок рівняння має вигляд . Інший частинний розв'язок повинен бути лінійно незалежним від першого. Покажемо, що таким розв'язком може бути функція . Покажемо, що вона задовольняє рівняння (8.24).

Знайдемо першу і другу похідні цієї функції

, .

Підставимо , , , у диференціальне рівняння (8.24) і після перетворень одержимо , оскільки за умовою дискримінант характеристичного рівняння . Отже, функція є частинним розв'язком рівняння (8.24). Так загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд

.

3. Нехай корені характеристичного рівняння комплексно спряжені: де . Тоді за теоремою (8.3) частинні розв'язки рівняння (8.24)

.

Застосовуючи формулу Ейлера, вираз запишемо у вигляді . При цьому частинні розв'язки рівняння (8.24) приймають вигляд

або

.

Отримані функції є частинними розв'язками рівняння (8.24), але містять у собі уявну одиницю . Неважко показати, що якщо функція є розв'язком рівняння (8.24), то окремо функції і також є його розв'язками. Тому приймемо за перший частинний розв'язок функцію , за другий частинний розв'язок . Очевидно, що ці функції лінійно незалежні, тому в такому випадку загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд

або

.

Приклад 8.10. Знайти частинний розв'язок рівняння , якщо відомо, що , .

Розв’язання. Тут характеристичне рівняння має вигляд і його корені , дійсні і різні, тому, застосовуючи формулу (8.25) загальний розв'язок рівняння запишемо у вигляді .

Після диференціювання загального розв'язку, одержимо

.

Підставляючи в початкові умови , , , одержимо систему рівнянь

Звідки знайдемо, що , .

Отже, частинний розв'язок, що задовольняє зазначеним початковим умовам, має вигляд .

Приклад 8.11. Знайти загальний розв'язок рівняння .

Розв’язання. Тут характеристичне рівняння має корені , отже, за формулою (8.26) загальний розв'язок рівняння має вигляд .

Приклад 8.12. Знайти загальний розв'язок рівняння .

Розв’язання. Характеристичне рівняння даного диференціального рівняння має вигляд . Його дискримінант , а . Корені рівняння є комплексно спряженими. Тут , . За формулою (8.27) загальний розв'язок рівняння буде

.