Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
1. Найпростіше диференціальне рівняння другого порядку має вигляд . (8.18) Послідовно двічі інтегруючи і тим самим знижуючи порядок рівняння, будемо мати , , Приклад 8.7. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , що задовольняє початковим умовам , . Розв’язання. Загальний розв'язок диференціального рівняння одержуємо, двічі інтегруючи його послідовно: , . Підставляючи у вирази початкові умови, одержуємо систему рівнянь для визначення значень і : звідки Шуканий частинний розв'язок має вигляд . 2. Диференціальне рівняння другого порядку, що не містить явно функції , має вигляд . (8.19) Введемо нову невідому функцію, прийнявши , . Тоді рівняння (8.19) буде . Це диференціальне рівняння першого порядку відносно функції . Розв’язуючи його, одержуємо . Підставляючи замість його значення , приходимо до найпростішого диференціального рівняння першого порядку . Проінтегрувавши його, одержимо загальний розв'язок даного рівняння . Приклад 8.8. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , що задовольняє початковим умовам , . Розв’язання. Дане рівняння не містить явно шуканої функції, тому замінимо , , одержимо диференціальне рівняння , що є лінійним рівнянням першого порядку. Знайдемо допоміжну функцію у вигляді . Тоді . Підставимо значення і в рівняння і підберемо функції і так, щоб виконувалася рівність або . Складемо систему рівнянь для визначення функцій і : Розв’язуючи перше рівняння, знаходимо, що . Підставивши знайдене значення у друге рівняння і розв’язавши його відносно функції , одержимо . Отже, або . Але оскільки , то загальний розв'язок заданого рівняння знайдемо, проінтегрувавши функцію . Інтегруючи, маємо . Щоб із загального розв'язку рівняння виділити частинний, який задовольняє початковим умовам , , підставимо значення , , , одержимо, що , . Отже, частинний розв'язок даного рівняння має вигляд . 3. Диференціальне рівняння другого порядку, що не містить явно незалежної змінної має вигляд . (8.20) Таке рівняння допускає зниження порядку, якщо за нову незалежну змінну взяти , а за нову шукану функцію взяти . Тоді, застосувавши правило диференціювання складної функції, одержимо або . Підставляючи значення й у рівняння (8.20) одержуємо диференціальне рівняння першого порядку відносно функції
. Розв'язок цього рівняння знайдемо у вигляді . Замінюючи , одержуємо – рівняння з подільними змінними. Після поділу змінних прийдемо до рівності , інтегруючи яку, знайдемо загальний розв'язок даного рівняння у вигляді . Приклад 8.9. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння . Розв’язання. Дане рівняння не містить у собі явно незалежну змінну . Замінимо , . Одержимо рівняння , яке є рівнянням з подільними змінними. Після поділу змінних прийдемо до рівняння , інтегруючи яке маємо або . Звідки . Оскільки , то розв’яжемо рівняння або . Інтегруючи, одержуємо – загальний інтеграл заданого рівняння
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; просмотров: 299; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.252.201 (0.008 с.) |