Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих

Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку має вигляд

. (8.28)

Знання якого-небудь частинного розв'язку рівняння (8.28) дозволяє звести задачу про розв'язання цього рівняння до задачі про розв'язання відповідного однорідного рівняння (8.21).

Теорема 8.5. Загальний розв'язок рівняння (8.28) є сумою якого-небудь частинного розв'язку і загального розв'язку відповідного йому однорідного рівняння: .

Дійсно, якщо – загальний розв'язок однорідного рівняння, відповідного даному, то . Якщо – частинний розв'язок неоднорідного рівняння (8.28), то . Покажемо що задовольняє рівняння (8.28). Для цього обчислимо першу і другу похідні від і підставляючи в рівняння (8.28), одержуємо

Якщо відомо загальний розв'язок однорідного рівняння (8.21), то загальний розв'язок рівняння (8.28) можна обчислити за допомогою так званого методу варіації довільних сталих, запропонованого Лагранжем.

Як знаємо, загальний розв'язок рівняння (8.21) має вигляд .

Припустимо, що загальний розв'язок рівняння (8.28) має такий же вигляд, але і – деякі невідомі функції, тобто

. (8.29)

Підберемо функції і так, щоб вираз (8.29) задовольняв рівняння (8.28).

Диференціюючи рівність (8.29), одержуємо

.

Будемо вимагати, щоб

. (8.30)

Тоді перша похідна приймає вигляд

і .

Підставляючи в рівняння (8.28) знайдені за умов (8.30) значення і , після перетворень одержуємо

.

Оскільки функції і задовольняють рівняння (8.21), то в останньому рівнянні перші дві дужки дорівнюють нулю і рівняння матиме вигляд

. (8.31)

Отже, для знаходження функцій і одержали два рівняння (8.30) і (8.31).

Оскільки функції , , відомі, то маємо систему двох лінійних рівнянь першого степеня з двома невідомими і :

(8.32)

Зазначимо, що така система має єдиний розв'язок, тому що її визначник є визначником Вронського, який для лінійно незалежних функцій і не перетворюється в нуль при будь-яких .

Розв’язуючи систему, знайдемо , , звідки

,

,

де , – довільні сталі.

Загальний розв'язок рівняння (8.28) приймає вигляд

, (8.33)

причому функція є його частинним розв'язком.

Зазначимо, що метод варіації довільних сталих завжди приводить до розв'язку, але часто буває громіздким через складні інтеграли, за допомогою яких обчислюються функції і .

Приклад 6.13. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння .

Розв’язання. Однорідне диференціальне рівняння, що відповідає заданому неоднорідному має вигляд . Його характеристичне рівняння має корені , яким відповідають частинні розв'язки , .

Знайдемо загальний розв'язок заданого рівняння у вигляді

.

Система (8.32) для даного рівняння приймає вигляд

Розв’язуючи систему, одержимо . Знайдемо

,

Загальний розв'язок рівняння

або після перетворень .

Тут – загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння, що відповідає заданому, – його частинний розв'язок.