Диференціальні рівняння другого порядку

Диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння, що зв'язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідні першого та другого порядку

. (8.14)

У деяких випадках рівняння вдається розв’язати відносно другої похідної, тобто записати у вигляді

. (8.15)

Також, як і диференціальні рівняння першого порядку, диференціальні рівняння другого порядку мають нескінченну множину розв'язків, кожний з яких зображується на площині деякою кривою.

Якщо час розглядати як незалежну змінну, а шукану функцію як шлях, пройдений матеріальною точкою за час при прямолінійному рухові, то диференціальне рівняння виражає в кожен момент часу залежність між пройденим шляхом , швидкістю і прискоренням точки, що рухається

.

Розв’язати таке рівняння, означає визначити закон руху , що дозволяє в будь-який момент часу, визначити положення точки, що рухається.

Для того, щоб з множини розв'язків вибрати потрібний, у механіці звичайно задають початкове положення точки, і початкову швидкість.

Говорять, що розв'язок рівняння задовольняє початковим умовам, якщо , .

Геометрично це означає, що відповідна крива рівняння проходить через точку площини і має в цій точці дотичну з кутовим коефіцієнтом .

Знаходження розв'язку рівнянь (8.14) чи (8.15), який задовольняє заданим початковим умовам називається задачею Коші для цих рівнянь.

Достатні умови існування й єдиності розв'язку задачі Коші для рівняння, розв’язаного відносно похідної, задаються теоремою, сформульованою за аналогією теореми Коші для рівняння першого порядку.

Теорема Коші. Якщо функція неперервна в деякій області тривимірного простору, має неперервні частинні похідні, то яка б не була точка цієї області, існує, і притому єдиний розв'язок рівняння , визначений у деякому інтервалі, що містить точку та задовольняє початковим умовам , .

Єдиність розв'язку задачі Коші для рівняння другого порядку не означає, що через дану точку площини проходить тільки одна інтегральна крива , як це спостерігалося для рівняння першого порядку, розв’язаного відносно похідної.

Для рівняння другого порядку з початковими умовами єдиність задачі Коші потрібно розуміти як те, що через точку площини проходить єдина крива рівняння, дотична до якої в цій точці має кутовий коефіцієнт . Через ту ж точку проходить ще нескінченна множина кривих рівняння з іншим нахилом дотичної у цій точці.

Загальний розв'язок диференціального рівняння другого порядку містить у собі дві довільні сталі і має вигляд

. (8.16)

Розв'язки, що одержані із загального при конкретних значеннях довільних сталих називаються частинними розв'язками даного рівняння.

Неявно задані загальний чи частинний розв'язки рівняння називаються його загальним і частинним інтегралами.

Для виділення з загального розв'язку частинного, що задовольняє заданим початковим умовам , , потрібно розв’язати систему рівнянь

(8.17)

відносно сталих і підставити їх значення в загальний розв'язок рівняння.