Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.

 

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння виду

, (8.21)

де і неперервні функції на деякому проміжку; – шукана функція.

Теорема 8.1. Якщо функції і частинні розв'язки рівняння (8.21), то функція при будь-яких значеннях довільних сталих також є його розв'язком.

Доведення. Нехай функції і є розв'язками рівняння (8.21), тоді справедливі тотожності та . Покажемо, що функція також є розв'язком рівняння (8.21). Для цього двічі продиференціюємо досліджувану функцію і підставимо , , у диференціальне рівняння (8.21), одержимо

Отже, функція , що містить дві довільні сталі, є розв'язком диференціального рівняння (8.21). Тоді виникає запитання, чи не є така функція загальним розв'язком рівняння.

Щоб відповісти на це питання, розглянемо поняття лінійної залежності функцій.

Будемо називати функції і лінійно незалежними, якщо їхня лінійна комбінація тільки при і лінійно залежними, якщо знайдеться хоча б одне відмінне від нуля число ( чи ) таке, що для будь-якого значення аргументу лінійна комбінація .

Очевидно, що якщо функції і лінійно залежні, то вони пропорційні, тобто і, якщо функції і лінійно незалежні, то вони не пропорційні, тобто .

Так, функції , лінійно незалежні, тому що , а функції , лінійно залежні, оскільки .

Для лінійно незалежних функцій , тобто . А це можливо лише при , що за допомогою визначника другого порядку можна записати у вигляді

.

Даний визначник, називається визначником Вронського для функцій і та позначається .

Отже, для лінійно незалежних функцій і визначник Вронського відмінний від нуля для будь-якого значення аргументу.

Аналогічно, якщо функції і лінійно залежні, для них , тобто . Звідки , а це означає, що визначник Вронського для будь-якого .

Теорема 8.2. Якщо і два лінійно незалежні частинні розв'язки лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку (8.21), то функція

, (8.22)

де і – довільні сталі, є його загальним розв'язком.

Доведення. З теореми 8.1 випливає, що функція є розв'язком рівняння (8.21) при будь-яких сталих і .

Доведемо тепер, що які б не були початкові умови , , можна так підібрати значення довільних сталих і , щоб відповідний частинний розв'язок задовольняв заданим початковим умовам, тобто

(8.23)

Визначником даної системи лінійних рівнянь, у якій і невідомі числа, є визначник Вронського. Оскільки за умовою функції і лінійно незалежні, то

,

а значить система (8.23) має єдиний розв'язок. Отже, для будь-яких початкових умов завжди можна з розв'язку (8.22) знайти частинний розв'язок, що задовольняє їм, а значить розв'язок (8.22) є загальним.

З доведеної теореми випливає, що для відшукання загального розв'язку (8.22) досить знайти два лінійно незалежних частинних розв'язки і скласти їхню лінійну комбінацію з довільними сталими.