Функции в качестве аппликативных функторов

Ещё одним экземпляром класса Applicative является тип (–>) r, или функции. Мы нечасто используем функции в аппликативном стиле, но концепция, тем не менее, действительно интересна, поэтому да- вайте взглянем, как реализован экземпляр функции1.

instance Applicative ((–>) r) where pure x = (\_ –> x)

f <*> g = \x –> f x (g x)

Когда мы оборачиваем значение в аппликативное значение с помощью функции pure, результат, который оно возвращает, дол- жен быть этим значением. Минимальный контекст по умолчанию по-прежнему возвращает это значение в качестве результата. Вот почему в реализации экземпляра функция pure принимает значение

1 Читателей, знакомых с комбинаторной логикой, такое определение экземпляра класса Applicative для функционального типа смутить не должно – методы опре- деляют комбинаторы K и S соответственно. – Прим. ред.

и создаёт функцию, которая игнорирует передаваемый ей пара- метр и всегда возвращает это значение. Тип функции pure для эк- земпляра типа (–>) r выглядит как pure:: a –> (r –> a).

ghci> (pure 3) "ля" 3

Из-за каррирования применение функции левоассоциативно, так что мы можем опустить скобки:

ghci> pure 3 "ля" 3

Реализация экземпляра <*> немного загадочна, поэтому давайте посмотрим, как использовать функции в качестве аппликативных функторов в аппликативном стиле:

ghci>:t (+) <$> (+3) <*> (*100)

(+) <$> (+3) <*> (*100):: (Num a) => a –> a

ghci> (+) <$> (+3) <*> (*100) $ 5 508

Вызов оператора <*> с двумя аппликативными значениями возвращает аппликативное значение, поэтому если мы вызываем его с двумя функциями, то получаем функцию. Что же здесь проис-

ходит? Когда мы выполняем

(+) <$> (+3) <*> (*100), мы со-

здаём функцию, которая при- менит оператор + к резуль- татам выполнения функций (+3) и (*100) и вернёт это зна- чение. При вызове выраже- ния (+) <$> (+3) <*> (*100) $ 5

функции (+3) и (*100) снача- ла применяются к значению 5, что в результате даёт 8 и 500; затем оператор + вызывается со значениями 8 и 500, что в результате даёт 508.

Следующий код аналогичен:

ghci> (\x y z –> [x,y,z]) <$> (+3) <*> (*2) <*> (/2) $ 5 [8.0,10.0,2.5]

 

Мы создаём функцию, которая вызоветфункцию \xy z –> [x, y, z] с окончательными результатами выполнения, возвращёнными функциями (+3), (*2) и (/2). Значение 5 передаётся каждой из трёх функций, а затем с этими результатами вызывается анонимная фун- кция \x y z –> [x, y, z].

ПРИМЕЧАНИЕ. Не так уж важно, поняли ли вы, как работает эк- земпляр типа (–>) r для класса Applicative, так что не отчаивай- тесь, если вам это пока не ясно. Поработайте с аппликативным стилем и функциями, чтобы получить некоторое представление о том, как использовать функции в качестве аппликативных функ- торов.

Застёгиваемые списки

Оказывается, есть и другие способы для списков быть аппликатив- ными функторами. Один способ мы уже рассмотрели: вызов опера- тора <*> со списком функций и списком значений, который возвра- щает список всех возможных комбинаций применения функций из левого списка к значениям в списке справа.

Например, если мы выполним [(+3),(*2)] <*> [1,2], то фун- кция (+3) будет применена и к 1, и к 2; функция (*2) также будет применена и к 1, и к 2, а результатом станет список из четырёх эле- ментов: [4,5,2,4]. Однако [(+3),(*2)] <*> [1,2] могла бы работать и таким образом, чтобы первая функция в списке слева была при- менена к первому значению в списке справа, вторая была бы при- менена ко второму значению и т. д. Это вернуло бы список с двумя значениями: [4,4]. Вы могли бы представить его как [1 + 3, 2 *

2].

Экземпляром класса Applicative, с которым мы ещё не встре- чались, является тип ZipList, и находится он в модуле Control. Applicative.

Поскольку один тип не может иметь два экземпляра для одного и того же класса типов, был введён тип ZipList a, в котором имеется один конструктор (ZipList) с единственным полем (список). Вот так определяется его экземпляр:

instance Applicative ZipList where pure x = ZipList (repeat x)

ZipList fs <*> ZipList xs = ZipList (zipWith (\f x –> f x) fs xs)

 

Оператор <*> применяет первую функцию к первому значению, вторую функцию – ко второму значению, и т. д. Это делается с помо- щью выражения zipWith (\f x –> f x) fs xs. Ввиду особенностей рабо- ты функции zipWith окончательный список будет той же длины, что и более короткий список из двух.

Функция pure здесь также интересна. Она берёт значение и по- мещает его в список, в котором это значение просто повторяется бесконечно. Выражение pure "ха-ха" вернёт ZipList (["ха-ха","ха- ха","ха-ха"... Это могло бы сбить с толку, поскольку вы узнали, что функция pure должна помещать значение в минимальный контекст, который по-прежнему возвращает данное значение. И вы могли бы подумать, что бесконечный список чего-либо едва ли является минимальным. Но это имеет смысл при использовании застёгива- емых списков, так как значение должно производиться в каждой позиции. Это также удовлетворяет закону о том, что выражение pure f <*> xs должно быть эквивалентно выражению fmap f xs. Если бы вызов выражения pure 3 просто вернул ZipList [3], вызов pure (

*2) <*> ZipList [1,5,10] дал бы в результате ZipList [2], потому что длина результирующего списка из двух застёгнутых списков равна длине более короткого списка из двух. Если мы застегнем конеч- ный список с бесконечным, длина результирующего списка всегда будет равна длине конечного списка.

Так как же застёгиваемые списки работают в аппликативном стиле? Давайте посмотрим.

Ладно, тип ZipList a не имеет экземпляра класса Show, поэто- му мы должны использовать функцию getZipList для извлечения обычного списка из застёгиваемого:

ghci> getZipList $ (+) <$> ZipList [1,2,3] <*> ZipList [100,100,100] [101,102,103]

ghci> getZipList $ (+) <$> ZipList [1,2,3] <*> ZipList [100,100..] [101,102,103]

ghci> getZipList $ max <$> ZipList [1,2,3,4,5,3] <*> ZipList [5,3,1,2] [5,3,3,4]

ghci> getZipList $ (,,) <$> ZipList "пар" <*> ZipList "ток" <*> ZipList "вид" [('п','т','в'),('а','о','и'),('р',кt','д')]

 

ПРИМЕЧАНИЕ. Функция (,,) – это то же самое, что и анонимная функция \x y z –> (x,y,z). В свою очередь, функция (,) – то же самое, что и \x y –> (x,y).

Помимо функции zipWith в стандартной библиотеке есть такие функции, как zipWith3, zipWith4, вплоть до 7. Функция zipWith берёт функцию, которая принимает два параметра, и застёгивает с её по- мощью два списка. Функция zipWith3 берёт функцию, которая при- нимает три параметра, и застёгивает с её помощью три списка, и т. д. При использовании застёгиваемых списков в аппликативном стиле нам не нужно иметь отдельную функцию застёгивания для каждого числа списков, которые мы хотим застегнуть друг с другом. Мы прос- то используем аппликативный стиль для застёгивания произвольно- го количества списков при помощи функции, и это очень удобно.

 

Аппликативные законы

Как и в отношении обычных функторов, применительно к аппли- кативным функторам действует несколько законов. Самый главный состоит в том, чтобы выполнялось тождество pure f <*> x = fmap f x. В качестве упражнения можете доказать выполнение этого закона для некоторых аппликативных функторов из этой главы. Ниже пе- речислены другие аппликативные законы:

® pure id <*> v = v

® pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w)

® pure f <*> pure x = pure (f x)

® u <*> pure y = pure ($ y) <*> u

Мы не будем рассматривать их подробно, потому что это заняло бы много страниц и было бы несколько скучно. Если вам интерес- но, вы можете познакомиться с этими законами поближе и посмот- реть, выполняются ли они для некоторых экземпляров.