Тема 4. Использование формул полной вероятности и байеса

Справочный материал

 

· Гипотезы в теории вероятностей: для события А совокупность событий В_i (i = ), образующих полную группу, называются гипотезами, если событие А может произойти лишь после реализации одного из событий этой совокупности.

 

· Формула полной вероятности − вероятность события А, которое может произойти лишь после реализации одной из гипотез В_i (i = ), равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

р (А)= р (В ₁) ∙р (А/В ₁) + р (В ₂) ∙р (А/В ₂) +…+ р (В_n) ∙р (А/В_n).

 

· Формула Байеса − апостериорная вероятность (вероятность, определяемая после того, как произошло событие А) реализации гипотезы В_k:

 

Задачи

 

4.1 Предварительной проверке подлежат сварные швы, среди которых 20% дефектных. Проводимая проверка с вероятностью 0,1 не обнаруживает дефект, если он есть, и с вероятностью 0,05 приписывает дефектность качественному шву. Найти вероятность того, что дефект будет иметь сварной шов, который данной проверкой признан качественным.

 

4.2 В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящих экзаменах отличники могут получить только отличные оценки, хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты получают с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

 

4.3 На распределительной базе находятся электрические лампочки, изготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлено первым заводом и 40% – вторым. Известно, что из каждых ста лампочек, изготовленных первым заводом, 95 удовлетворяют стандарту, а из ста лампочек, изготовленных вторым заводом, 85 удовлетворяют стандарту. Определить вероятность того, что наудачу выбранная лампочка будет удовлетворять стандарту.

 

4.4 Среди поступивших на фирму комплектующих изделий 80% – стандартные. Упрощенная схема контроля признает стандартное изделие пригодным к монтажу с вероятностью 0,9, а нестандартное – с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при контроле пригодным к монтажу, – стандартное.

 

4.5 Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

 

4.6 В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела – 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

 

4.7 Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по этому шоссе, как 3: 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

 

4.8 В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием K, 20% – с заболеванием М, 30% – с заболеванием L. Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7; для болезни L и М эта вероятность равна соответственно 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K.

 

4.9 Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в 3 раза превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода составляет 2%, у второго 1%. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и направили на продажу. Какова вероятность того, что приобретено изделие второго завода, если оно оказалось бракованным?

 

4.10. На предприятии изготовляются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 30% изделий от общего объема производства, на второй – 25%, на третьей – остальная часть продукции. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности продукции: 97%, 98%, 96%. Наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, оказалось бракованным. Определить вероятности того, что это изделие изготовлено на первой, на второй и на третьей линии.

 

4.11. На предприятии, изготовляющем болты, первая машина производит 30%, вторая – 25%, третья – 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1%, 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт из продукции, произведенной этими тремя машинами, окажется бракованным.

 

4.12. Расследуются причины неудачного запуска космической ракеты, о котором можно высказать 4 предположения (гипотезы) В ₁, В ₂, В ₃, В ₄. По данным статистики р (В ₁) = 0,2; р (В ₂) = 0,4; р (В ₃) =0,3; р (В ₄) = 0,1. В ходе расследования обнаружено, что произошла утечка топлива (событие А). Условные вероятности события А согласно той же статистике р (А/В ₁) = 0,9; р (А/В ₂) = 0; р (А/В ₃) = 0,2; р (А/В ₄) = 0,3. Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?

 

4.13. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый контролер проверяет 55% изделий, а второй – остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, второй – 0,02. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что изделие проверялось вторым контролером.

 

4.14. Стройуправление обеспечит завершение стройки на острове в срок с вероятностью 0,95, если стройматериалы будут перевезены расчетным числом судов, при меньшем числе судов стройка будет завершена в срок с вероятностью 0,6. В свою очередь, пароходство обеспечит курсирование заявленного числа судов с вероятностью 0,8 и с вероятностью 0,2 судов может оказаться меньше. Найти вероятность того, что стройка на острове будет завершена в запланированный срок.

 

4.15. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, а у второго – 0,6. Охотники одновременно произвели по одному выстрелу по цели. В результате цель была поражена одним попаданием. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник?

 

4.16. Грибник, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело 5 тропинок. Известно, что вероятность выхода из леса за час для этих тропинок равна соответственно: 0,6; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1. Чему равна вероятность того, что грибник пошел по первой тропинке, если известно, что он вышел из леса через час?

 

4.17. Среди 25 экзаменационных билетов 5 наиболее простых. Найти вероятность того, что билет, взятый вторым студентом, после первого, окажется простым.

 

4.18. Компания по автострахованию делит водителей на 3 категории: «осторожные», которые составляют 40% автовладельцев, «умеренно рискующие» – 50%, «лихачи» – 10%. Вероятность попасть в течение года в аварию для первых составляет 0,05, для вторых – 0,1, для третьих – 0,2. Найти вероятность, того, что застраховавший в этой компании свой автомобиль водитель, который попал в аварию – «лихач».

 

4.19. Вероятность нормального крейсерского режима полета самолета 0,9, а вероятность полета в условиях турбулентности 0,1. Вероятность выхода из строя установленного на самолете прибора в ходе крейсерского режима полета составляет 0,05, а при перегрузках – 0,15. Найти вероятность надежной работы прибора за время полета.

 

4.20. Из 100 студентов 1-го курса сделали прививку от гриппа 80. Вероятность заболеть гриппом не сделавшему прививку 0,7, а сделавшему – 0,1. Найти вероятность того, что студент, заболевший гриппом, не сделал прививку.

 

Тема 5. СХЕМА БЕРНУЛЛИ

Справочный материал

 

· Схема Бернулли – система независимых идентичных испытаний, в каждом из которых рассматриваются только два взаимно противоположных события А и , вероятности которых от испытания к испытанию неизменны: р (А) = р, р () = q, т.е. р + q = 1.

 

· Локальная вероятность в условиях схемы Бернулли р_n (m) – вероятность того, что в n испытаниях в условиях схемы Бернулли событие А произойдет ровно m раз (безразлично в какой последовательности), а n − m раз произойдет событие .

 

· Интервальная вероятность в условиях схемы Бернулли р_n (m ₁, m ₂) – вероятность того, что в n испытаниях в условиях схемы Бернулли событие А произойдет не менее m ₁ раз, но не более m ₂ раз, т.е. m ₁ ≤ m ≤ m ₂.

· Наивероятнейшее число m ₀ появления события А в условиях схемы Бернулли определяется из системы неравенств

np – q ≤ m ₀ ≤ np + p;

с учетом того, что m ₀– целое неотрицательное число:

а) ограничение m ₀снизу (np – q)и ограничение m ₀сверху (np + p)отличаются друг от друга на единицу;

б) если число np – q дробное, то существует одно наивероятнейшее число m ₀;

в) если число np – q целое, то существует два наивероятнейших числа и в этом случае вероятность наивероятнейшего числа появления события А следует рассчитывать согласно формуле р_n (m ₀) = р_n (m¢ ₀) + р_n (m² ₀).

г) если число np целое, то наивероятнейшее число m ₀ = np.

· Практически используемые формулы расчета вероятности в условиях схемы Бернулли в зависимости от значений параметров n, np, npq:

 

n	npq	pn (m)	pn (m 1; m 2)
n ≤ 10	для всех npq	= (формула Бернулли)
n > 10	npq > 9	(локальная формула Муавра – Лапласа)	(интегральная формула Муавра - Лапласа)
npq ≤ 9 (p < q)	(формула Пуассона)

 

где n – число испытаний в условиях схемы Бернулли, m – число появления события А при n испытаниях; p – вероятность события А в одном испытании; q = 1− p − вероятность события в одном испытании; ; ; ; – функция стандартного распределения (функция j (x) – четная, т.е. j (− x) = j (x)); – нормированная функция Лапласа (функция F (x)– нечетная, т.е. F (− x)= − F (x)).

Задачи

 

5.1. Осветительная сеть городского микрорайона охватывает 100 лампионов. Вероятность для каждого из них погаснуть в течение квартала при поданном напряжении равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение квартала число погасших лампионов окажется в пределах от 10 до 25 включительно.

 

5.2. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей: а) три девочки и 2 мальчика; б) среди детей девочек не больше трех. Вероятности рождения девочки и мальчика считать одинаковыми.

 

5.3. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из 3-х вопрос, заданный учителем, отвечали по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших было два мальчика и одна девочка?

 

5.4. В урне 10 белых и 40 черных шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют и шар возвращают обратно в урну. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.

 

5.5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

 

5.6. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) ровно 70 раз.

 

5.7. Всхожесть семян данного растения равна 0,95. Найти вероятность того, что из 100 посаженных семян число не проросших семян окажется равным 2.

 

5.8. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти?

 

5.9. Отдел технического контроля проверяет партию из 10 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны стандартными.

 

5.10. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,6. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых оба стрелка попадут в мишень, если будет произведено 15 залпов.

 

5.11. В водоеме карпы составляют 80%. Найти вероятность того, что из 5-ти выловленных в этом водоеме рыб окажется: а) 3 карпа; б) не менее 3-х карпов.

 

5.12. Гуманитарную помощь, сбрасываемую в труднодоступный район бедствия с самолета, можно считать эффективной, если до пострадавших доходит не менее 25% груза. Найти вероятность того, что помощь будет эффективной, если над районом бедствия сброшено 84 ящика, а вероятность для каждого ящика быть найденным на земле с неповрежденным грузом равна 0,3.

 

5.13. Вероятность изготовления изделия высшего качества на данном предприятии равна 0,78. Найти вероятность того, что в партии из 150 изделий 120 – высшего качества.

 

5.14. С целью природоохранных мер на рекреационной территории высадили 2100 саженцев. Вероятность прижиться для каждого саженца равна 0,7. Найти вероятность того, что приживется не менее 1500 саженцев.

 

5.15. Вероятность выхода из строя очистительного сооружения за год равна 0,005. Найти вероятность того, что из работающих 50 сооружений за год выйдет из строя не более одного.

 

5.16. Вероятность того, что подъемному крану потребуется ремонт в течение месяца, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение этого срока при шести работающих кранах потребуется ремонт: а) не более одного из них; б) хотя бы одного из них.

 

5.17. Вероятность выигрыша на каждый лотерейный билет равна 0,02. Найти вероятность хотя бы одного выигрыша на 15 купленных билетов.

 

5.18. Завод отправил на базу 500 компьютерных мониторов. Вероятность повреждения монитора в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: а) ровно три монитора; б) менее трех мониторов; в) более трех мониторов; г) хотя бы один монитор.

 

5.19. При заключении торговой сделки риск в среднем составляет 10%. Найти вероятность того, что при заключении 4-х сделок, успешными окажутся не менее 3-х из них.

 

5.20. Вероятность рецидива уголовного преступления равна 0,6. Найти вероятность наивероятнейшего числа преступников-рецидивистов среди 39-ти, осужденных за неделю за уголовные преступления.