Тема 2. Определение вероятности события

Справочный материал

 

· Классическое определение вероятности события:

p (A) = m/n,

где m – число равновозможных исходов испытания, благоприятствующих событию А, n – общее число всех равновозможных исходов данного испытания.

· Статистическое определение вероятности события:

p (A) = (m/n),

где m – число испытаний, в которых произошло событие А, n – общее число проведенных испытаний; отношение ω_n = m/n называется относительной частотой или частостью события А.

 

· Геометрическая вероятность события:

p (A) = mes A / mes U,

где mes A – мера исследуемого события A, mes U – мера достоверного события в испытании; геометрическая вероятность может быть рассчитана, если множество всех возможных исходов континуально и вероятность любых равных по мере подмножеств исходов одинакова (в качестве меры могут служить: длина, площадь, объем, промежутки времени и т.д.).

· Основные свойства вероятностей события:

Ø вероятность невозможного события равна нулю, то есть, p (Ø) = 0;

Ø вероятность достоверного события равна единице, то есть, p (U) = 1;

Ø вероятность любого случайного события А есть неотрицательное число, не превосходящее единицы, то есть, 0 ≤ p (А) ≤ 1;

Ø равновозможные события равновероятны;

Ø для любого события А вероятность противоположного события p () = 1 − p (А).

Задачи

2.1. В контейнере 16 одинаковых мешков цемента, в том числе 5 мешков марки А, 7 мешков с цементом марки В, остальные марки С. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 11 мешков окажется ровно 3 мешка с цементом марки А и 6 мешков с цементом марки В.

 

2.2. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наугад отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

 

2.3. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

 

2.4. На отрезке ОА длины L числовой оси х наудачу поставлена точка В. Найти вероятность того, что меньший из ОВ и ВА имеет длину, большую, чем L /3. Предполагается, что вероятность попадания точки В на любой отрезок внутри ОА пропорциональна длине этого отрезка.

 

2.5. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2 а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса R < a. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

 

2.6. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов кажутся 5 отличников.

 

2.7. В «секретном» замке на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

 

2.8. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута карта пиковой масти или туз?

 

2.9. На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После их тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово ЖУК?

 

2.10. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых деталей окажется 4 стандартных.

 

2.11. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрываются 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.

 

2.12. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры, и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

 

2.13. Для производственной практики на 30 студентов предоставлены 15 мест в Рязани, 8 – в Тамбове и 7 – в Воронеже. Какова вероятность того, что 2 определенных студента попадут на практику в один город?

 

2.14. В ящике находятся 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шариков. Наудачу вынимают 6 шариков. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шарика?

 

2.15. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.

 

2.16. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной а наудачу брошена монета радиуса R < a/ 2. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения.

 

2.17. В ящике 15 шариков, из которых 5 синих и 10 красных. Наугад выбирают 6 шариков. Найти вероятность того, что среди вынутых шариков окажутся 2 синих.

 

2.18. Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 студента – разрядники?

 

2.19. В лифт на 1-ом этаже 9-этажного дома вошли 4 человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже со 2-го по 9-ый. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на 6-ом этаже? б) на одном этаже?

 

2.20. Бросаются два игральных кубика, грани каждого из которых занумерованы от 1 до 6. Какова вероятность выпадения «дубля»?

 

2.21. Слово «керамзит» составлено из букв разрезной азбуки. После перемешивания карточек с буквами этого слова из них извлекаются по очереди 4 карточки. Какова вероятность того, что буквы на этих 4-х карточках в порядке их извлечения составят слово «метр»?