Тема 10. Нормальная Случайная величина

Справочный материал

 

· Закон нормального распределения непрерывной случайной величины X: закон нормального распределения непрерывной случайной величины Х задается формулой плотности вероятности f (x)= для – ∞ < х < + ∞, параметр σ > 0. Обозначение нормально распределенной случайной величины Х: Х ~ N (а; σ). В частном случае, при а = 0 и σ = 1 закон распределения случайной величины Х называется стандартным, соответствующая плотность вероятности задается функцией стандартного распределения: j (х) = . График f (x)для нормально распределенной случайной величины Х называется гауссовой кривой:

f (x)

 

0 а – σ а а + σ х

· Математическое ожидание случайной величины, распределенной по нормальному закону: М (Х) = а.

· Дисперсия случайной величины, распределенной по нормальному закону: D (X) = σ ².

 

· СКО случайной величины, распределенной по нормальному закону, или стандартное отклонение нормальной случайной величины: σ (Х) = σ.

 

· Интервальная вероятность нормальной случайной величины: р (х ₁£ Х < х ₂) = р (х ₁ £ Х £ х ₂) = F – F , где F (х) = – нормированная функция Лапласа.

· Устойчивость нормального закона распределения: если каждая из n взаимно независимых случайных величин Х ₁, Х ₂, …, Х_n распределена нормально, то и сумма этих величин Х = Х ₁ + Х ₂ +…+ Х_n – также нормальная случайная величина с математическим ожиданием М (Х) = а = а ₁ + а ₂ +…+ а_n и дисперсией D (X) = σ ² = σ ₁² + σ ₂² + …+ σ_n ², где а_j и σ_j ² – математическое ожидание и дисперсия соответствующей случайной величины Х_j. В частном случае, если а ₁ = а ₂ =…= а_n = а ₀ и σ ₁² = σ ₂² = …= σ_n ² = σ ₀², то математическое ожидание М (Х) = nа ₀, дисперсия D (X) = nσ ₀², стандартное отклонение σ (Х) = σ ₀ .

· Центральная предельная теорема закона больших чисел: если взаимно независимые случайные величины Х ₁, Х ₂, …, Х_n, каждая из которых Х_j имеет произвольный закон распределения с конечными математическим ожиданием а_j и дисперсией σ_j ², то распределение суммы этих случайных величин Х = Х ₁ + Х ₂ +…+ Х_n при n → ∞, как правило, как угодно мало отличается от нормального с математическим ожиданием М (Х) = а = а ₁ + а ₂ +…+ а_n и дисперсией D (X) = σ ² = σ ₁² + σ ₂² + …+ σ_n ².

Задачи

 

10.1. Распределение результатов равноточных измерений прочности на сжатие бетона фундамента строящегося объекта соответствует нормальному закону с математическим ожиданием 15 МПа. Найти стандартное отклонение полученных значений прочности бетона, если известно, что 2,5 % результатов измерений оказались меньше 14,2 МПа.

 

10.2. Средняя нагрузка на штатную единицу следователя в прокуратуре составляет 20 уголовных дел. Найти стандартное отклонение числа уголовных дел, приходящихся на следователя, если нагрузка менее 16 дел приходится только на 7% следователей. Записать плотность распределения вероятности для числа уголовных дел, приходящихся на следователя органов прокуратуры.

 

10.3. Ежесуточный расход водопроводной воды в микрорайоне – нормальная случайная величина с математическим ожиданием 60 м³ и стандартным отклонением 10 м³. Найти вероятность того, что в этом микрорайоне за 46 дней будет израсходовано менее 1000 м³ воды.

 

10.4. Число автомашин, останавливаемых у поста ГАИ в сутки за превышение скорости – нормальная случайная величина со средним значением 40 при стандартном отклонении 16. Найти вероятность того, что в течение 10 суток число остановленных автомашин за такое нарушение правил дорожного движения окажется менее 500.

 

10.5. Средняя масса плодов в одном ящике 20 кг. Найти стандартное отклонение массы плодов в ящике, если число ящиков с массой плодов менее 19 кг составляет 4,5 %. Записать плотность распределения вероятности для массы плодов в ящике.

 

10.6. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – нормальная случайная величина с математическим ожиданием а ₀ = 65 т и стандартным отклонением s ₀ = 9 т. Локомотив может вести состав массой не более 6600 т, при большей массе состава необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не понадобится. Записать плотность распределения вероятности для массы состава из 100 вагонов без локомотива.

 

10.7. Средняя масса шоколадного ассорти в коробке равна 200 г. Найти стандартное отклонение массы ассорти, если коробки, содержимое которых имеет массу меньше 198 г, составляет всего 1%. Записать плотность распределения вероятности для массы содержимого коробки.

 

10.8. Число работников частных фирм, выполняющих охранные функции и сыск, в 30 экономически наиболее развитых странах составляет 60% (а 40% – сотрудники соответствующих государственных организаций). Найти в процентах стандартное отклонение частных специалистов этого профиля деятельности в таких странах, если только в 9 из них число работников из частных фирм составляет менее 55% общего числа занятых в этой сфере специалистов.

 

10.9. Доля малых фирм на рынке достигает в среднем 9%. Найти стандартное отклонение в процентах представительства на рынке малого бизнеса, если повышение доли их участия до уровня более 12% происходит в среднем в 6 случаях из 100. Записать плотность распределения вероятности для доли малых фирм на рынке в процентах.

 

10.10. Среднее число дел, рассматриваемых в арбитражном суде по санкциям налоговой полиции, составляет 30 в месяц. Найти стандартное отклонение числа таких дел в месяц, если за год только три месяца число дел не превышало 25.

 

10.11. Текущая цена актива из ценных бумаг представляет собой нормальную случайную величину со средним значением 100 условных денежных единиц и дисперсией 9 условных единиц. Найти вероятность того, что цена актива будет находиться в пределах от 91 до 105 условных единиц.

 

10.12. Масса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами а = 375 г, s = 25 г. Найти вероятность того, что масса пойманной рабы будет: а) от 300 до 425 г; б) больше 300 г.

 

10.13. В среднем на поиск дизайнерского решения затрачивается 3 дня при стандартном отклонении 2 дня. Найти вероятность того, что дизайнерское решение будет найдено после получения задания не ранее чем через день, но не позднее чем через 6 дней.

 

10.14. Взвешивание порции крема для украшения торта осуществляется без систематической ошибки. Случайная ошибка взвешивания – нормальная случайная величина со стандартным отклонением 16 г. Найти вероятность того, что очередное взвешивание будет выполнено с ошибкой (перевес или недовес), не превосходящей 10 г.

 

10.15. Длина изготовляемой станком-автоматом детали в среднем равна 10 см. Браком считается деталь, длина которой отличается от номинальной более чем на 0,1 мм. Найти стандартное отклонение длины детали от номинальной, если вероятность брака детали с укороченной длиной равна 0,03.

 

10.16. Расход топлива при перелете из пункта А в пункт В – нормальная случайная величина с математическим ожиданием 6 т и стандартным отклонением 2,5 т. В самолет перед рейсом заливается 10 т топлива. Найти вероятность того, что во время предстоящего полета понадобится дозаправка самолета в промежуточном аэропорту.

 

10.17. На каждое изделие завода металлических изделий в среднем расходуется 0,02 кг никеля со стандартным отклонением 0,012 кг. Какова вероятность того, что за рабочий день при плане 225 изделий будет израсходовано менее 5 кг никеля?

 

10.18. Годовой уровень инфляции составляет в среднем 9% при стандартном отклонении 2%. Найти вероятность того, что в следующем году уровень годовой инфляции превысит 10%.

 

10.19. Считая, что время наладки оборудования – нормальная случайная величина с математическим ожиданием 6 дней со стандартным отклонением 1,5 дня, найти вероятность того, что очередная наладка потребует не менее 8 дней.

 

10.20. Среднее время выполнение мастером заказа – 5 дней при стандартном отклонении 1 день. Найти вероятность того, что на выполнение 25 заказов мастер затратит менее 130 дней.

 

10.21. Средний рост молодых людей, набираемых в армию по призыву, равен 176 см при стандартном отклонении 8 см. Какую долю униформы для солдат ростом 172 – 178 см следует предусмотреть в общем объеме пошива униформы?