Тема 3. Использование теорем сложения и умножения

Справочный материал

 

· Операции над событиями:

Ø сумма событий А и В – событие С = А + В, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В; сумме двух событий соответствуют события: {произойдет или событие А, или событие В, или, если возможно, и А и В }, {произойдет хотя бы одно из событий А или В }, {произойдет не менее одного из событий А или В }, {произойдет, по крайней мере, одно из событий А или В };

 

Ø произведение событий А и В – событие С = А ∙ В, состоящее в совместном появлении события А и события В; произведению двух событий соответствуют события: {произойдет и событие А и событие В }, {события А и В произойдут одновременно}, {события А и В произойдут совместно}.

 

· Условная вероятность события А по отношению к событию В – вероятность события А при условии, что событие В произошло; условная вероятность обозначается как p (А/В), или p (А|В), или p_В (А). Математическое определение независимости событий А и В – условная вероятность события равна безусловной: p (А/В)= p (А); свойство независимости событий взаимное: если p (А/В)= p (А),то и p (В/А)= p (В).

 

Теоремы сложения и умножения
Вероятность произведения событий	Вероятность суммы событий
р (А∙В) =     р (А) ∙р (В); р (А) ∙р (В/А) = р (В) ∙р (А/В)	р (А+В)= р (А) + р (В) − р (А∙В) =   р (А) +р (В) −р (А) ∙р (В); р (А) +р (В) −р (А) ∙р (В/А) =р (А) +р (В) −р (В) ∙р (А/В)
Следствия теорем сложения и умножения
1. p ()= 1 − p (А). 2. р (А 1 ∙А 2 ∙А 3 … ∙Аn) = . 3. Для событий, независимых в совокупности: р (А 1 ∙А 2 ∙А 3 ∙…∙Аn) = р (А 1) ∙р (А 2) ∙р (А 3) ∙…∙р (Аn). 4. Для попарно несовместных событий: р (А 1 + А 2 + …+ Аn)= р (А 1) + р (А 2) + …+ р (Аn). 5. Для полной группы событий р (А 1) + р (А 2) + …+ р (Аn) = 1. 6. р (А 1 + А 2 + …+ Аn)= 1 − . 7. Для равновероятных событий, независимых в совокупности: р (А 1 +А 2 +…+Аn)= 1− р^n ().

Задачи

3.1 На вибростенде аттестуются три автономные конструкции. При заданных уровне и времени воздействия вибрации, вероятность возникновения повреждений в первой конструкции р ₁ = 0,6, во второй – р ₂ = 0,7, в третьей – р ₃ = 0,8. Найти вероятность того, что в процессе аттестации возникнут повреждения: а) хотя бы в одной конструкции; б) только в одной конструкции.

 

3.2 Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна для первого сигнализатора 0,95 и для второго – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

 

3.3 Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.

 

3.4 Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1-м, 2-м, 3-м справочниках равна соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) хотя бы в двух справочниках; в) хотя бы в одном справочнике; г) во всех 3-х справочниках.

 

3.5 Работа электронного устройства прекратилась вследствие выхода из строя одного из пяти унифицированных блоков. Производится последовательная замена блока новым до тех пор, пока устройство не начнет работать. Какова вероятность того, что придется заменить: а) 2 блока; б) 4 блока?

 

3.6 Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8. Оба они, начиная с первого, поочередно стреляют, но делают не более чем по два выстрела, причем каждый стрелок стреляет второй раз при условии, что при первом выстреле промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени две пробоины.

 

3.7 Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

 

3.8 Вероятность срабатывания турникета при опускании жетона равна 0,9. Найти вероятность того, что: а) понадобится 3 жетона для того, чтобы пройти через турникет; б) хватит трех жетонов для того, чтобы пройти через турникет.

 

3.9 В ящике 5 стандартных и 3 бракованных изделий. Найти вероятность того, что первое наугад вынутое из ящика изделие будет стандартным, а второе – бракованным.

 

3.10. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятность отказа первого, второго и третьего элемента равна соответственно: р ₁ = 0,1, р ₂ = 0,15, р ₃ = 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

 

3.11. Вероятность выхода из строя i -го элемента в течение некоторого времени Т указанной цепи равна р_i. Все элементы цепи функционируют независимо друг от друга. Найти вероятность того, что, что вся цепь не выйдет из строя в течение времени Т (р ₁ = 0,12; р ₂ = 0,04; р ₃ = 0,06; р ₄ = 0,15).

 

1) 2)

 

 

3) 4)

 

 

5) 6)

 

 

 

 

7) 8)

 

 

 

9) 10)