Міри варіації для згрупованих даних.

Варіація згрупованих даних оцінюється дисперсією. Виділяють три види дисперсії: загальна σ ², внутрігрупова , міжгрупова δ ^2.

Загальна дисперсія вимірює варіацію ознаки по всій сукупності під впливом всіх факторів .

Внутрігрупова дисперсія вимірює варіацію ознаки всередині групи і розраховується по формулі , – середнє по групі.

Міжгрупова дисперсія вимірює коливання групових середніх навколо загальної середньої . Міжгрупова дисперсія вимірює варіацію, обумовлену ознакою, покладеною в основу групування.

Існує взаємозв’язок трьох видів дисперсій , де являє собою середню із внутрігрупових дисперсій . Суть взаємозв’язку полягає в тому, що виникаюча під впливом всіх факторів загальна дисперсія повинна дорівнювати сумі дисперсій, що виникають за рахунок фактора групування і всіх інших факторів.

Приклад. Розрахувати параметри варіації для даних, представлених таблицею, що характеризує виготовлення виробів залежно від технічного навчання.

Табельний номер	Технічне навчання	Виготовлення виробів
	Так
	Ні
	Ні
	Так
	Ні
	Так
	Так
	Ні

1) Групуємо робітників по ознаці «технічне навчання».

Групи робітників	Число робітників	Виготовлення	Групова середня
Пройшов тех. навчання		9, 7, 8, 8
Не пройшов		8, 6, 7, 7

2) Визначаємо загальне середнє по всій сукупності.

, , .

3) Розраховуємо загальну дисперсію. Для цього будуємо таблицю:

Виготовлення х	Частота f
		1,5	2,25	2,25
		0,5	0,25	0,75
		-0,5	0,25	0,75
		-1,5	2,25	2,25
Сума

, .

4) Розраховуємо дисперсію по кожній групі (внутрігрупові):

Виготовлення х	Частота f
Група 1
		-1
Сума
Група 2
		-1
Сума

; .

5) Розраховуємо середню із внутрігрупових дисперсій:

, .

6) Знаходимо міжгрупову дисперсію:

, .

При нормальному законі розподілу зміна індивідуальних значень ознаки перебуває в інтервалі (правило трьох сигм).

Приклад. Результати вибіркового спостереження над кілометражом пробігу партії 250 автопокришок наступні: = 48 тис. км., σ ² = 15 тис. км. За правилом трьох сигм можна зробити висновок про те, що кілометраж пробігу по всій сукупності автопокришок лежить у межах 48000 ± 45000 = [3000 – 93000]. Такі показники характеризують недостатню стабільність виробничого процесу.

Показники не дають повної характеристики сукупності. Для цього існують закони розподілу. Для характеристики законів розподілу використовують показники: момент, ексцес і асиметрія.

Статистичний момент характеризує напрямок, прикладений до варіанти. Моменти – узагальнююча характеристика розподілу. Моментом k -го порядку називається середня з відхилення ступеня k ознаки x від деякої величини А. . Залежно від величини А розрізняють моменти: початкові, умовні і центральні.

Початкові моменти (при А = 0) виділяють:

1) нульового порядку M ₀ = 1, k = 0.

2) першого порядку M ₁ = , k = 1.

3) другого порядку M ₂ = , k = 2.

4) третього порядку M ₃ = , k = 3.

Умовні моменти ­– початкові моменти відносно x ₀ (A = x ₀). .

Центральні моменти (розраховуються при А ₀ = ):

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Центральний момент використовується для числового виміру асиметрії, що розраховується як . Асиметрія характеризує скошеність розподілу. Ексцес характеризує гостровершинність розподілу і розраховується як .

Для узагальнюючої характеристики варіації в однорідній сукупності використовуються закони розподілу. Всі існуючі характеристики (показники середнього рівня, показники, варіації, асиметрії, ексцесу) описують форму кривої розподілу. На практиці багато розподілів підкоряються нормальному закону. Розподіл називається нормальним, якщо результат є впливом численних факторів, не пов’язаних один з одним, і вплив кожного з них вважається незначним у порівнянні із загальним впливом.