Аналіз варіацій та форми розподілу

Ряд розподілу характеризує склад, структуру сукупності по певній ознаці. Елементами ряду розподілу є варіанти, тобто значення деякої ознаки х і частоти. Залежно від статистичної природи варіантів ряди розподілу підрозділяються на атрибутивні та варіаційні. У співвідношенні варіант і частот проявляється закономірність розподілу. Закономірність оцінюється наступними характеристиками:

· частотні характеристики,

· характеристики центра розподілу,

· характеристики варіації,

· характеристики нерівномірності розподілу.

Частотними характеристиками будь-якого ряду є чисельність аналізованої групи, тобто частота. Додатковою характеристикою є кумулятивна частота, тобто накопичена. Кумулятивні частоти створюються послідовним підсумовуванням абсолютних частот.

До характеристик центра розподілу відносять середню, моду, медіану. Середня величина характеризує типовий рівень ознаки по сукупності. Відповідно до даних розподілу середня розраховується як арифметична зважена і на основі частот , де f_i – частота, x_i – значення варіаційної ознаки.

Мода – значення ознаки, що найбільш часто зустрічається. Мода – це вид середньої, котра називається непараметричною. Для визначення моди необхідно:

1) зібрати вихідну інформацію;

2) здійснити групування отриманих даних і побудувати розподіл зібраних значень по аналізованій ознаці. Розподіл може бути дискретним або інтервальним;

3) якщо розподіл дискретний, то модою сукупності буде те значення ознаки, що має найбільшу частоту. .

Приклад. Визначити моду для сукупності:

xi	fi

Mo = 50.

4) якщо отримано інтервальний ряд розподілу, то для визначення моди використовується формула , де l _mod – початок модального інтервалу, h _mod – ширина модального інтервалу, m _mod – частота модального інтервалу, m _mod-1 – частота передмодального інтервалу, m _mod+1 – частота післямодального інтервалу. Модальний інтервал – це інтервал, що має найбільшу частоту.

Приклад. Обчислити значення моди для наявних даних:

Зарплата робітників	Число робітників	Модальний інтервал
200-250
250-300
300-350		+
350-400

грн/чол.

Непараметрична середня мода використовується при візуальному аналізі результатів опитування, при визначенні найбільшого попиту на певний продукт, при розподілі родин по величині доходу або підприємств по ступеню ритмічності.

Медіана – значення ознаки одиниці сукупності, що розташована в середині впорядкованого ряду і ділить його на дві рівні за обсягом частини. Медіана не залежить від значень крайніх варіант, тому використовується для характеристики центра розподілу. Для визначення медіани необхідно:

1) зібрати вихідну інформацію;

2) визначити ряд дискретний або інтервальний;

3) якщо ряд дискретний, те вихідні дані впорядковують по зростанню і нумерують дані натуральним рядом чисел (1, 2, 3, …). Визначають парна або непарна кількість даних. Якщо кількість даних непарна, то медіана – це значення ознаки, що стоїть під номером , де n – кількість значень ознаки. Якщо кількість даних парна, то медіана – це середнє арифметичне зі значень ознаки, що стоять у ранжируваному ряді під номерами і . .

Приклад. Знайти медіану сукупності значень 5 1 4 2 6 7 9.

1 2 4 5 6 7 9 – упорядкований ряд

1 2 3 4 5 6 7 – нумеруємо –

.

4) якщо дані згруповані, то визначаються накопичені частоти для кожного інтервалу. Розраховується значення, рівне сумі всіх частот . Порівнюється накопичена частота кожного інтервалу з величиною . Перший інтервал, для якого накопичена частота стане не менше , є модальним. Тоді медіана визначається по формулі , де l _med – початок медіанного інтервалу, h _med – ширина медіанного інтервалу, – накопичена частота передмедіанного інтервалу, m ^med – частота медіанного інтервалу.

Приклад. Обчислити значення медіани для наявних даних:

Зарплата робітників	Число робітників	m н
200-250
250-300
300-350
350-400

n = 55, = 27,5

25 < 27,5 < 50

Частота 25 – медіанний інтервал

грн/чол.

 

Основні показники варіації

Показники варіації відносять до числа узагальнюючих показників. Вони вимірюють варіацію в сукупності явищ. У статистиці використовують наступні показники варіації:

1) розмах варіації W;

2) середнє абсолютне відхилення ;

3) середнє квадратичне відхилення σ;

4) дисперсія σ ²;

5) коефіцієнт варіації υ.

Значення показників варіації полягає в наступному:

1) вони доповнюють середні величини, за якими сховані індивідуальні відмінності;

2) характеризують ступінь однорідності статистичної сукупності по даній ознаці;

3) характеризують границі варіації ознаки;

4) співвідношення показників варіації характеризує взаємозв’язок між ознаками.

Використання середньої не завжди на практиці дозволяє зробити економічні висновки.

Приклад. Обсяг продукції, випущеної бригадами, характеризується наступним співвідношенням:

Бригади	Декади	Середнє	Сума

Отримані значення середньої та сумарні значення не дозволяють зробити висновки про якість роботи кожної із бригад.

Для проведення якісного аналізу використовують:

1) розмах варіації, що характеризує межі зміни ознаки, що варіюється .

W ₁ = 20; W ₂ = 100 – нерівномірно працюють бригади (сильно варіюється).

Недолік цього показника полягає в тому, що він враховує тільки крайні оцінки.

2) середнє абсолютне відхилення . Частинним випадком є лінійні відхилення кожного значення сукупності від середнього . При розрахунку середнього абсолютного відхилення не можна використовувати лінійні відхилення без абсолютної величини, тому що . Якщо окремі значення ознаки повторюються, то , де m_i – кількість повторень ознаки. Середнє абсолютне відхилення – це число іменоване. Його розмірність відповідає розмірності ознаки, що варіюється. Сьогодні абсолютне середнє відхилення використовується рідко через неврахування знака відхилення.

3) як правило, на практиці використовується середнє квадратичне відхилення σ, що визначається залежно від вихідної інформації:

Вид інформації	Формула розрахунку
1. Первинна інформація
2. Інформація задана у вигляді пар значень «показник-вага»
3. Інформація згрупована в дискретний ряд розподілу	, mi – частота
4. Інформація представлена як інтервальний ряд	, – середина інтервалу, – середнє по сукупності.

4) на практиці широко використовується показник варіації дисперсія – середній квадрат відхилення індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної . Оскільки і середнє абсолютне відхилення, і дисперсія є числами іменованими, то їх не можна використовувати для проведення порівняльного аналізу при різних ознаках. У цьому випадку використовують відносне відхилення, що для кожної ознаки розраховується як або . Середнє відносне відхилення розраховується залежно від аналізованої інформації:

Вид інформації	Формула розрахунку
1. Первинна інформація	,
2. Інформація згрупована в дискретний ряд розподілу
3. Інформація представлена як інтервальний ряд	, – середина інтервалу, – середнє по сукупності
4. Для зважених показників

5) загальний коефіцієнт варіації визначається як відношення іменованого абсолютного показника до середньої величини. Виражається в коефіцієнтах і відсотках. Виділяють:

· лінійні коефіцієнти варіації: , , ;

· квадратичні коефіцієнти варіації: , , ;

· коефіцієнти варіації осциляції: , , .

При аналізі сукупності, якщо варіація відсутня, . За допомогою коефіцієнта варіації порівнюються розміри варіації однієї ознаки в декількох сукупностях.