ТОП 10:

Математическая модель механики твердо деформируемого тела



 

Полная математическая модель механики твердо деформированного тела состоит из трех частей: уравнения равновесия, геометрические соотношения и физические соотношения. Рассмотрим каждую из частей более подробно.

I. Уравнения равновесия

В твердо деформированном теле выберем некоторую точку А, положение которой описывается координатами (x,y,z). Вблизи этой точки вырежем объем dV=dxdydz. На каждой грани вырезанного элемента действует по три напряжения: одно нормальное и два касательных (рис. 29). Кроме этого на элементарный объем действуют массовые силы R(X, Y, Z).

 

 

 
 

 

 


Рис. 29

 

Так как все тело находится в равновесии, то в равновесии находится и элементарный объем и, следовательно, можно составить три уравнения равновесия сил в проекциях на оси координат. Напомним, что для того чтобы получить силу, необходимо умножить напряжение на площадь грани, на которой оно действует.

 

-sxdydz + (sx + dxsx)dydz - tyxdxdz + (tyx + dytyx)dxdz –

- tzxdxdy + (tzx + dztzx)dxdy + Xdxdydz = 0,

 

раскроем скобки и распишем частные производные

 

,

 

поделим уравнение на элементарный объем

 

. (54)

 

Аналогично запишем уравнения равновесия по двум другим осям координат:

 

,

. (55)

 

Полученная система уравнений содержит шесть неизвестных компонентов: три нормальных напряжения и три касательных напряжения (с учетом закона парности касательных напряжений). Следовательно, этих уравнений недостаточно для решения поставленной задачи.

II. Геометрические соотношения

В теле выберем некоторую точку А с координатами (x,y,z). После нагружения и деформации (рис. 30) точка А переместилась в точку А1 с координатами (х1, у1, z1) на малую величину Dr (Dх, Dу, Dz).

Введем обозначения

Dх = х1 – х = U,

Dу = у1 – у = V, (56)

Dz = z1 – z = W,

 

где U, V, W – перемещения вдоль координатных осей Х, У, Z.

Теперь возьмем отрезок АВ бесконечно малой длины dS с направляющими косинусами (l, m, n). Изменение длины отрезка под нагрузкой dS1 - dS = DdS называется абсолютным удлинением или приращением.

 

 
 

 

 


Рис. 30

 

Отношение приращения к первоначальной длине отрезка называется относительным удлинениемили линейной деформацией:

 

e = . (57)

 

Пусть отрезок dS имеет проекции по координатным осям (dx, dy, dz). Зная направляющие косинусы отрезка, найдем величину проекций:

 

 

dx=l×dS,

dy=m×dS, (58)

dz=n×dS.

 

Найдем длину отрезка dS через проекции:

 

dS2 = dx2 + dy2 + dz2.

 

Продифференцируем это выражение:

 

2×dS×DdS = 2×dx×Ddx + 2×dy×Ddy + 2×dz×Ddz , (59)

 

учитывая выражения (56), можно записать:

 

Ddx = dDx =dU,

Ddy = dDy = dV, (60)

Ddz = dDz = dW.

 

Подставим полученные выражения в (59):

 

dS×DdS = dx×dU + dy×dV + dz×dW,

 

следовательно, приращение отрезка равно:

 

DdS = ×dU + ×dV + ×dW = l×dU + m×dV + n×dW. (61)

 

найдем линейную деформацию по формуле (57) с учетом выражения (61):

 

e = = ×l + ×m + ×n. (62)

 

Перемещения U, V, W являются функциями трех координат, т.к. они зависят от положения точки в теле по отношению к опорам и приложенным нагрузкам. Следовательно, полный дифференциал является суммой частных производных.

 

,

, (63)

.

 

Поделим каждое из уравнений (63) на dS:

 

,

, (64)

.

 

Подставим полученные выражения (64) в уравнение деформации (62):

 

.

 

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые по направляющим косинусам, получим полное выражение для линейной деформации:

 

.

 

Введем обозначения

 

, , , (65)

, , .

 

Эти выражения получили название формул Коши. Они связывают между собой компоненты тензора деформаций и перемещения точки. С учетом формул Коши деформация в произвольном направлении получит следующий вид:

 

. (66)

 

Определим физический смысл введенных обозначений. Формула (66) справедлива для любого направления, поэтому возьмем отрезок dS параллельно оси Х, тогда его длина определяется проекцией на эту ось dS=dx и направляющие косинусы равны l=1, m=n=0. Согласно уравнению (66) деформация отрезка в этом случае будет равна:

 

e = .

 

таким образом, eх – линейная деформация в направлении оси Х; аналогично eу – линейная деформация в направлении оси Y; ez – линейная деформация в направлении оси Z.

Теперь определим, что такое g. Возьмем в теле прямой угол АВС со сторонами, параллельными осям координат. После нагружения тела, угол деформировался и занял положение А1В1С1 (рис. 31).

 
 

 

 


Рис. 31

 

Точка А переместилась вдоль оси Y на V, а точка В вдоль той же оси переместилась на V+dxV. При этом длина отрезка dx стала dx+Ddx. Рассмотрим треугольник А1В1В’:

 

tga = . (67)

 

Аналогично рассмотрим треугольник А1С1С’:

 

tgb = . (68)

 

Первоначально прямой угол уменьшился на a+b. С учетом того, что при малых углах tga»a получаем:

.

 

Таким образом, получается, что gху – изменение прямого угла со сторонами, параллельными координатным осям, т.е. угловая деформация в плоскости ХY. Аналогично можно получить две других угловых деформации.

III. Физические соотношения

При испытаниях на растяжение был экспериментально установлен закон Гука:

 

. (69)

 

Также опытным путем установлены модуль Юнга Е – коэффициент пропорциональности между нормальным напряжением и линейной деформацией и коэффициент Пуассона m – отношение поперечной деформации к продольной.

Рассмотрим закон Гука в главных осях.

 

       
 
   
 

 


Рис. 32

 

При одноосном напряженном состоянии (рис. 32) деформации по трем осям будут равны:

 

, (70)

.

 

При рассмотрении трехосного напряженного состояния (рис.33) воспользуемся принципом суперпозиции, т.е. найдем деформации по осям от каждого напряжения в отдельности.

 
 

 


Рис. 33

 

От напряжения s1:

, .

От напряжения s2:

, .

От напряжения s3:

, .

 

Найдем суммарные деформации по координатным осям.

 

,

, (71)

.

 

Формулы (71) представляют собой закон Гука в главных осях. Эти формулы связывают главные напряжения и главные деформации. Вне главных осей существуют касательные напряжения и искажение углов. Следовательно, существует связь между ними. Для установления этой связи перейдем от главных осей к произвольным:

 

. (72)

 

Нормальное напряжение s1 можно выразить по основной квадратичной форме (33) через напряжения в произвольных осях:

 

s1 = sx×l2 + sy×m2 +sz×n2 + 2tyx×m×l + 2tzx×n×l + 2tzy×n×m.

 

Подставим это выражение в формулу (72) и умножим первый инвариант на сумму квадратов направляющих косинусов (l2 + m2 + n2 = 1)

 

.

 

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по направляющим косинусам:

 

.

 

Сравним полученное выражение с квадратичной формой деформации в произвольном направлении (66):

 

,

,

, (73)

,

,

.

 

Где G= – модуль сдвига, постоянная величина, являющаяся характеристикой материала.

Уравнения (73) являются обобщенным законом Гука, выражающим связь между напряжениями и деформациями.

Таким образом, рассмотрев три части математической модели, мы имеем 15 урав-

нений (3 уравнения равновесия, 6 формул Коши, 6 уравнений обобщенного закона Гука) и 15 неизвестных (3 перемещения по координатным осям, 3 нормальных напряжения, 3 касательных напряжения, 3 линейных деформации, 3 угловых деформации).

Построение математической модели механики твердо деформированного тела – предмет изучения линейной теории упругости. Полученная математическая модель не является ещё полной, т.к. часть уравнений (формулы Коши и уравнения равновесия) имеют дифференциальный вид. Их нужно интегрировать. В результате чего появляются постоянные интегрирования, т.е. дополнительные неизвестные. В обыкновенных дифференциальных уравнениях это константы, для уравнений в частных производных это функции. Поэтому необходимо существование дополнительных условий. Это так называемые граничные условия – условия на границе данного тела (на поверхности).

Граничные условия бывают трех типов: силовые, геометрические и смешанные.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.207.240.230 (0.017 с.)