Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Математическая модель механики твердо деформируемого тела
Полная математическая модель механики твердо деформированного тела состоит из трех частей: уравнения равновесия, геометрические соотношения и физические соотношения. Рассмотрим каждую из частей более подробно. I. Уравнения равновесия В твердо деформированном теле выберем некоторую точку А, положение которой описывается координатами (x,y,z). Вблизи этой точки вырежем объем dV=dxdydz. На каждой грани вырезанного элемента действует по три напряжения: одно нормальное и два касательных (рис. 29). Кроме этого на элементарный объем действуют массовые силы R(X, Y, Z).
Рис. 29
Так как все тело находится в равновесии, то в равновесии находится и элементарный объем и, следовательно, можно составить три уравнения равновесия сил в проекциях на оси координат. Напомним, что для того чтобы получить силу, необходимо умножить напряжение на площадь грани, на которой оно действует.
-sxdydz + (sx + dxsx)dydz - tyxdxdz + (tyx + dytyx)dxdz – - tzxdxdy + (tzx + dztzx)dxdy + Xdxdydz = 0,
раскроем скобки и распишем частные производные
,
поделим уравнение на элементарный объем
. (54)
Аналогично запишем уравнения равновесия по двум другим осям координат:
, . (55)
Полученная система уравнений содержит шесть неизвестных компонентов: три нормальных напряжения и три касательных напряжения (с учетом закона парности касательных напряжений). Следовательно, этих уравнений недостаточно для решения поставленной задачи. II. Геометрические соотношения В теле выберем некоторую точку А с координатами (x,y,z). После нагружения и деформации (рис. 30) точка А переместилась в точку А1 с координатами (х1, у1, z1) на малую величину Dr (Dх, Dу, Dz). Введем обозначения Dх = х1 – х = U, Dу = у1 – у = V, (56) Dz = z1 – z = W,
где U, V, W – перемещения вдоль координатных осей Х, У, Z. Теперь возьмем отрезок АВ бесконечно малой длины dS с направляющими косинусами (l, m, n). Изменение длины отрезка под нагрузкой dS1 - dS = DdS называется абсолютным удлинением или приращением.
Рис. 30
Отношение приращения к первоначальной длине отрезка называется относительным удлинением или линейной деформацией:
e = . (57)
Пусть отрезок dS имеет проекции по координатным осям (dx, dy, dz). Зная направляющие косинусы отрезка, найдем величину проекций:
dx=l×dS, dy=m×dS, (58) dz=n×dS.
Найдем длину отрезка dS через проекции:
dS2 = dx2 + dy2 + dz2.
Продифференцируем это выражение:
2×dS×DdS = 2×dx×Ddx + 2×dy×Ddy + 2×dz×Ddz, (59)
учитывая выражения (56), можно записать:
Ddx = dDx =dU, Ddy = dDy = dV, (60) Ddz = dDz = dW.
Подставим полученные выражения в (59):
dS×DdS = dx×dU + dy×dV + dz×dW,
следовательно, приращение отрезка равно:
DdS = ×dU + ×dV + ×dW = l×dU + m×dV + n×dW. (61)
найдем линейную деформацию по формуле (57) с учетом выражения (61):
e = = ×l + ×m + ×n. (62)
Перемещения U, V, W являются функциями трех координат, т.к. они зависят от положения точки в теле по отношению к опорам и приложенным нагрузкам. Следовательно, полный дифференциал является суммой частных производных.
, , (63) .
Поделим каждое из уравнений (63) на dS:
, , (64) .
Подставим полученные выражения (64) в уравнение деформации (62):
.
Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые по направляющим косинусам, получим полное выражение для линейной деформации:
.
Введем обозначения
, , , (65) , , .
Эти выражения получили название формул Коши. Они связывают между собой компоненты тензора деформаций и перемещения точки. С учетом формул Коши деформация в произвольном направлении получит следующий вид:
. (66)
Определим физический смысл введенных обозначений. Формула (66) справедлива для любого направления, поэтому возьмем отрезок dS параллельно оси Х, тогда его длина определяется проекцией на эту ось dS=dx и направляющие косинусы равны l =1, m=n=0. Согласно уравнению (66) деформация отрезка в этом случае будет равна:
e = .
таким образом, eх – линейная деформация в направлении оси Х; аналогично eу – линейная деформация в направлении оси Y; ez – линейная деформация в направлении оси Z. Теперь определим, что такое g. Возьмем в теле прямой угол АВС со сторонами, параллельными осям координат. После нагружения тела, угол деформировался и занял положение А1В1С1 (рис. 31).
Рис. 31
Точка А переместилась вдоль оси Y на V, а точка В вдоль той же оси переместилась на V+dxV. При этом длина отрезка dx стала dx+Ddx. Рассмотрим треугольник А1В1В’:
tga = . (67)
Аналогично рассмотрим треугольник А1С1С’:
tgb = . (68)
Первоначально прямой угол уменьшился на a+b. С учетом того, что при малых углах tga»a получаем: .
Таким образом, получается, что gху – изменение прямого угла со сторонами, параллельными координатным осям, т.е. угловая деформация в плоскости ХY. Аналогично можно получить две других угловых деформации. III. Физические соотношения При испытаниях на растяжение был экспериментально установлен закон Гука:
. (69)
Также опытным путем установлены модуль Юнга Е – коэффициент пропорциональности между нормальным напряжением и линейной деформацией и коэффициент Пуассона m – отношение поперечной деформации к продольной. Рассмотрим закон Гука в главных осях.
Рис. 32
При одноосном напряженном состоянии (рис. 32) деформации по трем осям будут равны:
, (70) .
При рассмотрении трехосного напряженного состояния (рис.33) воспользуемся принципом суперпозиции, т.е. найдем деформации по осям от каждого напряжения в отдельности.
Рис. 33
От напряжения s1: , . От напряжения s2: , . От напряжения s3: , .
Найдем суммарные деформации по координатным осям.
, , (71) .
Формулы (71) представляют собой закон Гука в главных осях. Эти формулы связывают главные напряжения и главные деформации. Вне главных осей существуют касательные напряжения и искажение углов. Следовательно, существует связь между ними. Для установления этой связи перейдем от главных осей к произвольным:
. (72)
Нормальное напряжение s1 можно выразить по основной квадратичной форме (33) через напряжения в произвольных осях:
s1 = sx×l2 + sy×m2 +sz×n2 + 2tyx×m×l + 2tzx×n×l + 2tzy×n×m.
Подставим это выражение в формулу (72) и умножим первый инвариант на сумму квадратов направляющих косинусов (l2 + m2 + n2 = 1)
.
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по направляющим косинусам:
.
Сравним полученное выражение с квадратичной формой деформации в произвольном направлении (66):
, , , (73) , , .
Где G= – модуль сдвига, постоянная величина, являющаяся характеристикой материала. Уравнения (73) являются обобщенным законом Гука, выражающим связь между напряжениями и деформациями. Таким образом, рассмотрев три части математической модели, мы имеем 15 урав- нений (3 уравнения равновесия, 6 формул Коши, 6 уравнений обобщенного закона Гука) и 15 неизвестных (3 перемещения по координатным осям, 3 нормальных напряжения, 3 касательных напряжения, 3 линейных деформации, 3 угловых деформации). Построение математической модели механики твердо деформированного тела – предмет изучения линейной теории упругости. Полученная математическая модель не является ещё полной, т.к. часть уравнений (формулы Коши и уравнения равновесия) имеют дифференциальный вид. Их нужно интегрировать. В результате чего появляются постоянные интегрирования, т.е. дополнительные неизвестные. В обыкновенных дифференциальных уравнениях это константы, для уравнений в частных производных это функции. Поэтому необходимо существование дополнительных условий. Это так называемые граничные условия – условия на границе данного тела (на поверхности).
Граничные условия бывают трех типов: силовые, геометрические и смешанные.
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 183; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.142.119.241 (0.046 с.) |