Экстремальные свойства главных напряжений.

Круговая диаграмма Мора

 

Возьмем в теле произвольную точку А (х, у, z). Через эту точку можно провести бесконечное множество площадок. Очевидно, что на одной из площадок нормальное напряжение достигнет наибольшего для данной точки значения, а на другой касательное напряжение примет свое максимальное значение.

Пусть для точки А известно положение главных осей напряженного состояния. Если их принять за систему координат (рис. 23), то в наклонной площадке с вектором нормали n (l, m, n) возникают нормальные и касательные напряжения Р(s, t). Определим эти напряжения и исследуем их экстремальные свойства.

 

 

Рис. 23

 

Нормальные напряжения в любой наклонной площадке выражаются основной квадратичной формой (33). Запишем её с учетом того, что в качестве системы координат приняты главные оси:

 

s_n = s₁×l² + s₂×m² + s₃×n². (38)

 

Найдем квадрат полного напряжения на наклонной площадке как сумму квадратов его проекций, выражения для которых были найдены ранее (32):

 

Р² = P_х²+ P_у² + P_z² = s₁²×l² + s₂²×m² + s₃²×n². (39)

 

Также полное напряжение на наклонной площадке можно представить как сумму нормального и касательного напряжений (17).

Таким образом, мы имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными - l², m², n²:

 

s = s₁×l² + s₂×m² + s₃×n²

s² + t² = s₁²×l² + s₂²×m² + s₃²×n² (40)

1 = l² + m² + n²

 

Умножим каждое уравнение на произвольные множители a, b, c и сложим, сгруппировав при этом слагаемые по направляющим косинусам

 

а×s + b×(s² + t²) + с =

= l²×(а×s₁ + b×s₁² + с) + m ²×(а×s₂ + b×s₂² + с) + n ²×(а×s₃ + b×s₃² + с). (41)

 

Для определения величины l² подберем коэффициенты a, b, c таким образом, чтобы вторая и третья скобки в правой части уравнения (41) обнулились:

 

а×s₂ + b×s₂² + с = 0,

а×s₃ + b×s₃² + с = 0,

получаем

 

b = 1, а = -(s₂ +s₃), с = s₂×s₃.

 

Подставляя полученные коэффициенты в уравнение (41), находим величину l²:

 

l²= . (42)

 

Аналогично находим квадраты двух других направляющих косинусов

 

m ² = ,

(43)

n ² = .

 

В уравнениях (42) и (43) дроби должны быть больше нуля, т.к. в левых частях стоят квадраты величин. Проанализируем знаменатели дробей на основе неравенства s₁ ³ s₂ ³ s₃:

 

³ 0,

£ 0, (44)

³ 0.

 

На основе неравенств (44) можно сделать вывод о знаке числителя:

 

 

³ 0,

£ 0, (45)

³ 0.

 

Сделав ряд математических преобразований, можно показать, что неравенства (45) представляют собой области, ограниченные окружностями. Рассмотрим третье неравенство и представим его решение графически (рис. 24):

 

(46)

 

Представим решение системы (45) графически (рис. 25). Эта диаграмма называется круговой диаграммой Мора. Круговая диаграмма позволяет установить экстремальные свойства нормальных и касательных напряжений.

 

 

 

Рис. 24

 

s₁ – максимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке;

s₃ – минимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке;

t_max = – максимальное касательное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке, действует на площадках наклоненных к главным на угол 45°.

 

 

 

 

Рис. 25