ТОП 10:

Экстремальные свойства главных напряжений.



Круговая диаграмма Мора

 

Возьмем в теле произвольную точку А (х, у, z). Через эту точку можно провести бесконечное множество площадок. Очевидно, что на одной из площадок нормальное напряжение достигнет наибольшего для данной точки значения, а на другой касательное напряжение примет свое максимальное значение.

Пусть для точки А известно положение главных осей напряженного состояния. Если их принять за систему координат (рис. 23), то в наклонной площадке с вектором нормали n (l, m, n) возникают нормальные и касательные напряжения Р(s, t). Определим эти напряжения и исследуем их экстремальные свойства.

 
 

 

 


Рис. 23

 

Нормальные напряжения в любой наклонной площадке выражаются основной квадратичной формой (33). Запишем её с учетом того, что в качестве системы координат приняты главные оси:

 

sn = s1×l2 + s2×m2 + s3×n2. (38)

 

Найдем квадрат полного напряжения на наклонной площадке как сумму квадратов его проекций, выражения для которых были найдены ранее (32):

 

Р2 = Pх2+ Pу2 + Pz2 = s12×l2 + s22×m2 + s32×n2. (39)

 

Также полное напряжение на наклонной площадке можно представить как сумму нормального и касательного напряжений (17).

Таким образом, мы имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными - l2, m2, n2:

 

s = s1×l2 + s2×m2 + s3×n2

s2 + t2 = s12×l2 + s22×m2 + s32×n2 (40)

1 = l2 + m2 + n2

 

Умножим каждое уравнение на произвольные множители a, b, c и сложим, сгруппировав при этом слагаемые по направляющим косинусам

 

а×s + b×(s2 + t2) + с =

= l2×(а×s1 + b×s12 + с) + m 2×(а×s2 + b×s22 + с) + n 2×(а×s3 + b×s32 + с). (41)

 

Для определения величины l2 подберем коэффициенты a, b, c таким образом, чтобы вторая и третья скобки в правой части уравнения (41) обнулились:

 

а×s2 + b×s22 + с = 0,

а×s3 + b×s32 + с = 0,

получаем

 

b = 1, а = -(s2 +s3), с = s2×s3.

 

Подставляя полученные коэффициенты в уравнение (41), находим величину l2:

 

l2= . (42)

 

Аналогично находим квадраты двух других направляющих косинусов

 

m 2 = ,

(43)

n 2 = .

 

В уравнениях (42) и (43) дроби должны быть больше нуля, т.к. в левых частях стоят квадраты величин. Проанализируем знаменатели дробей на основе неравенства s1 ³ s2 ³ s3:

 

³ 0,

£ 0, (44)

³ 0.

 

На основе неравенств (44) можно сделать вывод о знаке числителя:

 

 

 
 


³ 0,

£ 0, (45)

³ 0.

 

Сделав ряд математических преобразований, можно показать, что неравенства (45) представляют собой области, ограниченные окружностями. Рассмотрим третье неравенство и представим его решение графически (рис. 24):

 

(46)

 

Представим решение системы (45) графически (рис. 25). Эта диаграмма называется круговой диаграммой Мора. Круговая диаграмма позволяет установить экстремальные свойства нормальных и касательных напряжений.

 

 

 
 

 


Рис. 24

 

s1 – максимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке;

s3 – минимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке;

tmax = – максимальное касательное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке, действует на площадках наклоненных к главным на угол 45°.

 

 

 
 

 

 


Рис. 25







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.15.142 (0.004 с.)