Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Растяжение (сжатие) стержней
Пусть стержень нагружен произвольной продольной нагрузкой. Вырежем на некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис. 40). На данный элемент действует внешняя нагрузка и внутренние продольные силы в сечениях, по которым вырезан элемент.
Рис. 40
Составим уравнение равновесия вырезанного элемента.
- N + qz×dz + N + dN = 0, , N’ + qz = 0. (92)
Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух частей общего и частного решения и имеет вид
N(z) = C - (93)
Определим физический смысл постоянной интегрирования. При z=0:
N(0) = C.
Значение интеграла зависит от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим значения интеграла нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок. а) сосредоточенная сила (рис. 41):
Рис. 41 при z£a ФN(z)=0 при z³a ФN(z)=-P
б) распределенная нагрузка (рис. 42):
Рис. 42
при z£c ФN(z)=0 при z³c ФN(z)=-q(z-c)
Пример Для заданной схемы нагружения стержня (рис. 43) построить эпюру продольной силы N(z) при следующих исходных данных: q=10 кН/м, l=1м.
Рис. 43
Решение 1. Совместим начало системы координат с левым концом стержня и направим координатную ось z вдоль его продольной оси. В соответствии со схемой нагружения разделим стержень на три участка и запишем уравнение продольных сил следующим образом:
N (z) = N (0) - 2q·z│1+2q (z - l) │2 + q (z - 2l) │3.
В этом уравнении приняты следующие обозначения: N(0) – значение продольной силы в начале координат (реакция опоры), z – координата сечения, в котором определяется значение продольной силы. Для решения задачи необходимо определить одну неизвестную величину – N(0). Для этого запишем граничное условие: N (3l) = 0. Напомним, что граничные условия – это известные значения интегральных характеристик в какой-либо точке стержня. Для определения неизвестной реакции N(0) необходимо приравнять уравнение продольных сил к нулю, подставив в нем вместо координаты «z» координату «3l»:
N (0)-2q (3l) + 2q (3l – l) + q (3l – 2l) = 0. Решая это уравнение, найдем: N (0) = 10 кН. 2. Построение графика продольных сил. При построении графиков уравнение рассматривается на каждом участке в отдельности и вместо координаты «z» подставляется соответствующая координата начала и конца рассматриваемого участка.
1 участок - 0 ≤ z ≤ l:
N (0) =10 кН, N (l) = 10 – 2·10·1 = -10 кН.
2 участок - l ≤ z ≤ 2l:
N (l) = 10 – 2·10·1 + 2·10(l – l) = -10 кН, N (2l) = 10 – 2·10·2 + 2·10(2 – 1) = -10 кН.
3 участок - 2l ≤ z ≤ 3l:
N (2l) = 10 – 2·10·2 + 2·10(2 – 1) + 10(2 – 2) = -10 кН, N (3l) = 10 – 2·10·3 + 2·10(3 – 1) + 10(3 – 2) = 0 кН.
По рассчитанным значениям строится график продольной силы (см. рис. 43). Кручение стержней Пусть стержень нагружен произвольной крутящей нагрузкой. Вырежем на некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис. 44). На данный элемент действует внешняя нагрузка и внутренние крутящие моменты в сечениях, по которым вырезан элемент. Составим уравнение равновесия вырезанного элемента.
- Мк + mz×dz + Мк + dМк = 0, , Мк’ + mz = 0. (94)
Рис.44
Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух частей общего и частного решения и имеет вид
Mк(z) = C - . (95)
Определим физический смысл постоянной интегрирования. При z=0
Мк(0) = C.
Значение интеграла зависит от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок. а) сосредоточенный момент (рис. 44):
Рис.44 при z£a Фм(z)=0 при z³a Фм(z)=-L
Рис. 45
при z£c Фм(z)=0 при z³c Фм(z)=-m(z-c)
Пример Для приведённой схемы нагружения прямого стержня (рис. 46) построить эпюру крутящего момента при следующих исходных данных: mz = 10 кН/м, L = 10 кНм, l = 1 м. Решение В соответствии со схемой нагружения запишем уравнение крутящего момента в следующем виде: Mk (z) = Mk (0) │1 - L│2 - mz(z-2l) │3 .
Исходя из условий закрепления стержня, запишем следующее граничное условие: Mk (0) = 0 (реакция незакреплённого конца стержня равна нулю).
Рис. 46
Таким образом, записанное уравнение не содержит неизвестных величин и можно приступать к построению графика. Построение графика будем производить аналогично построению графика в примере 1.
1 участок - 0 ≤ z ≤ l: Mk (0) = 0 кНм, Mk (l) = 0 кНм.
2 участок - l ≤ z ≤ 2l: Mk (l) = 0 – 10 = -10 кНм, Mk (2l) = 0 – 10 = -10 кНм.
3 участок - 2l ≤ z ≤ 3l: Mk (2l) = 0 – 10 – 10(2 – 2) = - 10 кНм, Mk (3l) = 0 – 10 – 10(3 – 2) = -20 кНм.
По рассчитанным значениям строится график крутящего момента (см. рис. 46).
Изгиб стержней
Пусть стержень нагружен произвольной поперечной нагрузкой. Вырежем на некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис. 47). На данный элемент действует внешняя нагрузка и внутренние поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях, по которым вырезан элемент.
Рис. 47
Составим уравнения равновесия вырезанного элемента. Уравнение равновесия всех сил на вертикальную ось.
- Qy + qy×dz + Qy + dQy = 0, , Qy' + qy = 0. (96)
Уравнение равновесия моментов относительно центра тяжести правого сечения вырезанного элемента.
- Мх + qy×dz×dz/2 + Мх + dМх - Qy×dz = 0,
Слагаемое, выражающее момент от распределенной нагрузки – слагаемое второго порядка малости, поэтому им можно пренебречь
, Мх' = Qy. (97)
Объединяя дифференциальные уравнения (96) и (97), получим:
Мх'' = - qy (98)
Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух частей общего и частного решения и имеет вид
Мх(z) = C1+С2z – Фм,
где Фм – частное решение, отражающее внешнюю приложенную нагрузку. Определим физический смысл постоянных интегрирования. При z=0
Мх(0) = C1, Мх' (0) = Qy(0) = С2.
Рассмотрим подробнее частное решение. Пусть стержень нагружен произвольной распределенной нагрузкой (рис. 48). Определим величину поперечной силы и изгибающего момента для точки с координатой z.
Рис. 48
Qy = , Мх = . (99)
Значения интегралов зависят от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок. а) сосредоточенная сила (рис. 49):
Рис. 49 при z£a ФQ(z)=0 ФМ(z)=0 при z³a ФQ(z)=-P ФМ(z)=-P(z-a)
б) распределенная нагрузка (рис. 50):
Рис. 50 при z£c ФQ(z)=0 ФМ(z)=0 при z³c ФQ(z)=-q(z-c) ФМ(z)=-q(z-c)2/2 в) сосредоточенный момент (рис. 51):
Рис. 51 при z£b ФQ(z)=0 ФМ(z)=0 при z³b ФQ(z)=0 ФМ(z)=-L Пример Для заданной схемы нагружения стержня (рис. 52) построить эпюры поперечной силы Qy(z) и изгибающего момента Mx(z) при следующих исходных данных: L = 5 кНм, P = 10 кН, q = 20 кН/м, l = 1 м.
Рис. 52 Решение Запишем уравнения поперечных сил и изгибающего момента:
Qy (z) = Qy(0) │1 – P - q×(z - l) │2 Mx (z) = Mx (0) + Qy(0)×z│1 - P×(z - l) - q×(z - l)2/2│2
В соответствии с условиями закрепления стержня запишем граничные условия в следующем виде: Mx (0) = - L, Mx (3l) = 0. Для нахождения неизвестной реакции Qy (0) необходимо приравнять уравнение изгибающего момента к нулю при координате z = 3l:
Mx (3l) = Mx (0) + Qy (0)×3l - P×(3l - l) - q×(3l - l)2/2 = 0.
Решая это уравнение относительно Qy (0), получим Qy (0) = 21.67кН. Теперь, учитывая найденные константы, уравнения интегральных характеристик можно переписать в следующем виде:
Qy (z) = 21.67│1 – P – q×(z - l) │2 Mx (z) = -L + 21.67z│1 – P×(z - l) – q×(z - l)2/2│2
Построение графиков будем производить аналогично примеру 1.
1 участок 0 ≤ z ≤ l: Qy (0) = 21.67 кН, Qy (l) = 21.67 кН, Mx (0) = -5 кНм, Mx (l) = -5 + 21.67*1 = 16.67 кНм.
2 участок l ≤ z ≤ 3l: Qy (l) = 21.67 – 10 = 11.67 кН, Qy (3l) = 21.67 – 10 – 20*(3 - 1) = -28.33 кН, Mx (l) = -5 + 21.67*1 – 10(1 – 1) – 20(1 – 1) = 16.67 кНм, Mx (3l) = -5 + 21.67*3 – 10(3 – 1) – 20(3 – 1) =0 кНм.
Определим координаты экстремума и значения функции изгибающего момента в экстремальной точке:
Qy (z1) = 21.67 – P – q (z1 - l) = 0 → z1 = 1.58 м. Mx (1.58) = -L + 21.67·1.58 – P (1.58 - l) – q (1.58 - l)2/2 = 20.07 кНм.
По рассчитанным значениям строятся графики поперечной силы и изгибающего момента (см. рис. 52).
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 214; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.81.240 (0.049 с.) |