ТОП 10:

Растяжение (сжатие) стержней



 

Пусть стержень нагружен произвольной продольной нагрузкой. Вырежем на некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис. 40). На данный элемент действует внешняя нагрузка и внутренние продольные силы в сечениях, по которым вырезан элемент.

 
 

 

 


Рис. 40

 

Составим уравнение равновесия вырезанного элемента.

 

- N + qz×dz + N + dN = 0,

,

N’ + qz = 0. (92)

 

Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух частей общего и частного решения и имеет вид

 

N(z) = C - (93)

 

Определим физический смысл постоянной интегрирования. При z=0:

 

N(0) = C.

 

Значение интеграла зависит от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим значения интеграла нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок.

а) сосредоточенная сила (рис. 41):

 

Рис. 41

при z£a ФN(z)=0

при z³a ФN(z)=-P

 

б) распределенная нагрузка (рис. 42):

 
 

 

 


Рис. 42

 

при z£c ФN(z)=0

при z³c ФN(z)=-q(z-c)

 

Пример

Для заданной схемы нагружения стержня (рис. 43) построить эпюру продольной силы N(z) при следующих исходных данных: q=10 кН/м, l=1м.

 

Рис. 43

 

Решение

1. Совместим начало системы координат с левым концом стержня и направим координатную ось z вдоль его продольной оси.

В соответствии со схемой нагружения разделим стержень на три участка и запишем уравнение продольных сил следующим образом:

 

N (z) = N (0) - 2q·z│1+2q (z - l) │2 + q (z - 2l) │3.

 

В этом уравнении приняты следующие обозначения:

N(0) – значение продольной силы в начале координат (реакция опоры),

z – координата сечения, в котором определяется значение продольной силы.

Для решения задачи необходимо определить одну неизвестную величину – N(0). Для этого запишем граничное условие: N (3l) = 0.

Напомним, что граничные условия – это известные значения интегральных характеристик в какой-либо точке стержня.

Для определения неизвестной реакции N(0) необходимо приравнять уравнение продольных сил к нулю, подставив в нем вместо координаты «z» координату «3l»:

 

N (0)-2q (3l) + 2q (3l – l) + q (3l – 2l) = 0.

Решая это уравнение, найдем: N (0) = 10 кН.

2. Построение графика продольных сил.

При построении графиков уравнение рассматривается на каждом участке в отдельности и вместо координаты «z» подставляется соответствующая координата начала и конца рассматриваемого участка.

 

1 участок - 0 ≤ z ≤ l:

 

N (0) =10 кН,

N (l) = 10 – 2·10·1 = -10 кН.

 

2 участок - l ≤ z ≤ 2l:

 

N (l) = 10 – 2·10·1 + 2·10(l – l) = -10 кН,

N (2l) = 10 – 2·10·2 + 2·10(2 – 1) = -10 кН.

 

3 участок - 2l ≤ z ≤ 3l:

 

N (2l) = 10 – 2·10·2 + 2·10(2 – 1) + 10(2 – 2) = -10 кН,

N (3l) = 10 – 2·10·3 + 2·10(3 – 1) + 10(3 – 2) = 0 кН.

 

По рассчитанным значениям строится график продольной силы (см. рис. 43).

Кручение стержней

Пусть стержень нагружен произвольной крутящей нагрузкой. Вырежем на некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис. 44). На данный элемент действует внешняя нагрузка и внутренние крутящие моменты в сечениях, по которым вырезан элемент.

Составим уравнение равновесия вырезанного элемента.

 

- Мк + mz×dz + Мк + dМк = 0,

,

Мк’ + mz = 0. (94)

 

 


Рис.44

 

Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух частей общего и частного решения и имеет вид

 

Mк(z) = C - . (95)

 

Определим физический смысл постоянной интегрирования. При z=0

 

Мк(0) = C.

 

Значение интеграла зависит от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок.

а) сосредоточенный момент (рис. 44):

 
 

 

 


Рис.44

при z£a Фм(z)=0

при z³a Фм(z)=-L

 

m
б) распределенная нагрузка (рис. 45):

 
 

 

 


Рис. 45

 

при z£c Фм(z)=0

при z³c Фм(z)=-m(z-c)

 

Пример

Для приведённой схемы нагружения прямого стержня (рис. 46) построить эпюру крутящего момента при следующих исходных данных:

mz = 10 кН/м, L = 10 кНм, l = 1 м.

Решение

В соответствии со схемой нагружения запишем уравнение крутящего момента в следующем виде:

Mk (z) = Mk (0) │1 - L│2 - mz(z-2l) │3 .

 

Исходя из условий закрепления стержня, запишем следующее граничное условие: Mk (0) = 0 (реакция незакреплённого конца стержня равна нулю).

       
   
 
 
 

 

 


 

Рис. 46

 

Таким образом, записанное уравнение не содержит неизвестных величин и можно приступать к построению графика. Построение графика будем производить аналогично построению графика в примере 1.

 

1 участок - 0 ≤ z ≤ l:

Mk (0) = 0 кНм,

Mk (l) = 0 кНм.

 

2 участок - l ≤ z ≤ 2l:

Mk (l) = 0 – 10 = -10 кНм,

Mk (2l) = 0 – 10 = -10 кНм.

 

3 участок - 2l ≤ z ≤ 3l:

Mk (2l) = 0 – 10 – 10(2 – 2) = - 10 кНм,

Mk (3l) = 0 – 10 – 10(3 – 2) = -20 кНм.

 

По рассчитанным значениям строится график крутящего момента (см. рис. 46).

 

Изгиб стержней

 

Пусть стержень нагружен произвольной поперечной нагрузкой. Вырежем на некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис. 47). На данный элемент действует внешняя нагрузка и внутренние поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях, по которым вырезан элемент.

 

       
   
 
 

 

 


Рис. 47

 

Составим уравнения равновесия вырезанного элемента.

Уравнение равновесия всех сил на вертикальную ось.

 

- Qy + qy×dz + Qy + dQy = 0,

,

Qy' + qy = 0. (96)

 

Уравнение равновесия моментов относительно центра тяжести правого сечения вырезанного элемента.

 

- Мх + qy×dz×dz/2 + Мх + dМх - Qy×dz = 0,

 

Слагаемое, выражающее момент от распределенной нагрузки – слагаемое второго порядка малости, поэтому им можно пренебречь

 

,

Мх' = Qy. (97)

 

Объединяя дифференциальные уравнения (96) и (97), получим:

 

Мх'' = - qy (98)

 

Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух частей общего и частного решения и имеет вид

 

Мх(z) = C12z – Фм,

 

где Фм – частное решение, отражающее внешнюю приложенную нагрузку.

Определим физический смысл постоянных интегрирования. При z=0

 

Мх(0) = C1,

Мх' (0) = Qy(0) = С2.

 

Рассмотрим подробнее частное решение. Пусть стержень нагружен произвольной распределенной нагрузкой (рис. 48). Определим величину поперечной силы и изгибающего момента для точки с координатой z.

 

 
 

 

 


Рис. 48

 

 

Qy = ,

Мх = . (99)

 

Значения интегралов зависят от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок.

а) сосредоточенная сила (рис. 49):

 
 

 

 


Рис. 49

при z£a ФQ(z)=0

ФМ(z)=0

при z³a ФQ(z)=-P

ФМ(z)=-P(z-a)

 

б) распределенная нагрузка (рис. 50):

 
 

 

 


Рис. 50

при z£c ФQ(z)=0

ФМ(z)=0

при z³c ФQ(z)=-q(z-c)

ФМ(z)=-q(z-c)2/2

в) сосредоточенный момент (рис. 51):

 
 

 

 


Рис. 51

при z£b ФQ(z)=0

ФМ(z)=0

при z³b ФQ(z)=0

ФМ(z)=-L

Пример

Для заданной схемы нагружения стержня (рис. 52) построить эпюры поперечной силы Qy(z) и изгибающего момента Mx(z) при следующих исходных данных:

L = 5 кНм, P = 10 кН, q = 20 кН/м, l = 1 м.

 

Рис. 52

Решение

Запишем уравнения поперечных сил и изгибающего момента:

 

Qy (z) = Qy(0) │1 – P - q×(z - l) │2

Mx (z) = Mx (0) + Qy(0)×z│1 - P×(z - l) - q×(z - l)2/2│2

 

В соответствии с условиями закрепления стержня запишем граничные условия в следующем виде: Mx (0) = - L,

Mx (3l) = 0.

Для нахождения неизвестной реакции Qy (0) необходимо приравнять уравнение изгибающего момента к нулю при координате z = 3l:

 

Mx (3l) = Mx (0) + Qy (0)×3l - P×(3l - l) - q×(3l - l)2/2 = 0.

 

Решая это уравнение относительно Qy (0), получим Qy (0) = 21.67кН.

Теперь, учитывая найденные константы, уравнения интегральных характеристик можно переписать в следующем виде:

 

Qy (z) = 21.67│1 – P – q×(z - l) │2

Mx (z) = -L + 21.67z│1 – P×(z - l) – q×(z - l)2/2│2

 

Построение графиков будем производить аналогично примеру 1.

 

1 участок 0 ≤ z ≤ l:

Qy (0) = 21.67 кН,

Qy (l) = 21.67 кН,

Mx (0) = -5 кНм,

Mx (l) = -5 + 21.67*1 = 16.67 кНм.

 

2 участок l ≤ z ≤ 3l:

Qy (l) = 21.67 – 10 = 11.67 кН,

Qy (3l) = 21.67 – 10 – 20*(3 - 1) = -28.33 кН,

Mx (l) = -5 + 21.67*1 – 10(1 – 1) – 20(1 – 1) = 16.67 кНм,

Mx (3l) = -5 + 21.67*3 – 10(3 – 1) – 20(3 – 1) =0 кНм.

 

Определим координаты экстремума и значения функции изгибающего момента в экстремальной точке:

 

Qy (z1) = 21.67 – P – q (z1 - l) = 0 → z1 = 1.58 м.

Mx (1.58) = -L + 21.67·1.58 – P (1.58 - l) – q (1.58 - l)2/2 = 20.07 кНм.

 

По рассчитанным значениям строятся графики поперечной силы и изгибающего момента (см. рис. 52).

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.85.214.125 (0.017 с.)